Estoy escribiendo esto parcialmente no dejar esta pregunta sin respuesta y parcialmente para incluir algunos detalles que no he encontrado en el mes post.
Hay un libro de Herman Goldstine, titulado "Una Historia del Cálculo de Variaciones desde el 17 hasta el 19 Siglo", que cubre la historia y el desarrollo de Euler-Lagrange de la ecuación (y mucho más, por supuesto), y que cubre este tema. En ella, Goldstine escribe que Euler descubrió por primera vez en lo que ahora llamamos el de Euler-Lagrange ecuación antes del 15 de abril de 1743, que sabemos como resultado de una carta de que la fecha de envío por Euler a Daniel Bernoulli que contiene su descubrimiento. Euler, a continuación, publicado este hallazgo a un público más amplio en su 1744 Methodus Inveniendi.
Euler derivación aproximar una curva por $N$ puntos y, a continuación, deje $N$ ir hasta el infinito para encontrar extremals. Este método fue algo tedioso en su implementación y en el de Euler, él mismo estaba interesado en la búsqueda de un método que no dependen de la geometría como su método hizo.
Once años más tarde, en una carta de fecha 12 de agosto de 1755, Lagrange (con tan solo 19 años de edad) enviado Euler una carta en la que se re-derivados de Euler el resultado puramente métodos analíticos. Lagrange de la derivación fue lo suficientemente potente como para manejar otros tipos de problemas y había de Euler anteriores resultado como una consecuencia casi automática. Euler sí mismo mucho preferido de Lagrange derivación y le dio el nombre de "cálculo de variaciones", y es esencialmente de Lagrange técnica que se utiliza hoy en día.
El nombre de la ecuación, entonces, es muy razonable dado que Euler encontró primero y Lagrange refinado su enfoque.
