calcular la derivada utilizando el Teorema fundamental del cálculo

Question

Esta es una cuestión de preparación del GRE: ¿Qué es el derivado de $f(x)=\int_x^0 \frac{\cos xt}{t}\mathrm{d}t$?

La respuesta es $\frac{1}{x}[1-2\cos x^2]$. Supongo que esto tiene algo que ver con el primer Teorema fundamental del cálculo pero no estoy seguro de cómo usarlo para solucionar este problema.

Gracias de antemano.

Answer 1

Primer Teorema fundamental del cálculo: $$ \frac{d}{dx}\int{{\alpha(x)}}^{{\beta(x)}}f(x,y)\,dy=\int{{\alpha(x)}} ^ {{% \beta(x)}} \frac {\partial f} {\partial x}\,dy+\frac{d\beta(x)} {dx} f (x,\beta% (x))-\frac{d\alpha(x)} {dx} f (x \alpha (x)) \, $$ donde: $$\alpha(x)=0, \beta(x)=x, f(x,y)=\frac{\cos xy}{y}$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que no solo el dominio de integración sino también el integrando dependen de$x$. Vamos a (por un momento) escribir$F(x) = \int_x^0 f(x, t)\,dt = -\int_0^x f(x,t)\,dt$ para su integral. Para manejar el "doble"$x$ - dependencia, escribimos$F$ como la composición de$\Delta\colon \mathbb R \to \mathbb R^2$,$x\mapsto (x,x)$ y$\Phi\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$,$(x_1, x_2) \mapsto -\int_0^{x_1} f(x_2, t)\, dt$. Tenemos$F = \Phi \circ \Delta$, por lo tanto$$ F'(x) = \nabla \Phi \bigl(\Delta(x)\bigr) \cdot \Delta'(x) $ $ por la regla de la cadena. Ahora$\Delta'(x) = (1,1)$, y \begin{align*} \partial_1\Phi(x_1, x_2) &= -f(x_2, x_1)\\ \partial_2\Phi(x_1, x_2) &= -\int_0^{x_1} \partial_{x_2} f(x_2, t)\, dt \end {align *} (para la primera derivada usamos el teorema fundamental). Plugin todo junto, obtenemos$$ F'(x) = -f(x,x) - \int_0^x \partial_x f(x,t)\, dt $ $

Answer 3

La integral no existe, en consecuencia, no es diferenciable.

La integral no existe, porque para cada $x$ ($x>0$, el caso de los negativos $x$ es tratado de forma similar) hay algunos $\varepsilon > 0$ tal que $\cos(xt)> 1/2$ todos los $t$ $t$- rango de $0\le t \le \varepsilon$. Si uno divide la integral $\int_x^0 = \int_\varepsilon^0 + \int_x^\varepsilon$, entonces la segunda integral existe, porque el integrando es continuo en el $t$-rango de $\varepsilon \le t\le x $. La primera es, por definición, $\lim_{\eta\rightarrow 0+}\int_\varepsilon^\eta$ y mayor que $(-\ln \eta + \ln \varepsilon)/2$. Así que el límite no existe.