Algunos de los comentarios parecen implicar que el concepto de base es de alguna manera difícil de definir por infinito-dimensional espacios. Ese no es el caso. La definición
Si $V$ es un espacio vectorial sobre el campo escalar $K$, luego de una familia $B=(b_i)_{i\in d}$ de vectores es una base de $V$ exactamente si para cada vector de $x$ hay una única familia $(x_i)_{i\in d}$ de escalares con $x_i \neq 0$ por sólo un número finito de $i$, de tal manera que $x = \sum_{i \in d} c_ix_i$. La familia $(x_i)_{i\in d} =: \mathfrak{C}_B(x)$ se llama la coordinatization de $x$ base $B$.
obras para espacios vectoriales de dimensión arbitraria. Tenga en cuenta que el punto crucial es que cada vector debe ser representable por una finito combinación lineal de los vectores de la base. La mayoría de los bienes se llevan a través de lo finito-dimensional caso en particular, usted todavía tiene que
Si $T \,:\, V \to V$ es lineal en el mapa, y $(b_i)_{i\in d}$ base $V$, $T$ está totalmente determinado por las imágenes de la $b_i$ bajo $T$, es decir, por $(Tb_i)_{i\in d}$.
De ello se sigue que también puede generalizar matrices, permitiendo arbitrariamente grandes conjuntos de índices, y (como en el finito-dimensional caso), requieren que las "columnas" para ser las imágenes de los vectores de la base.
Si $T \,:\, V \to V$ es lineal en el mapa, y $B$ base $V$, entonces la familia de escalares $(a_{ij})_{i,j\in d} =: \mathfrak{C}_B(T)$ fueron de $$
(a_{ij})_{i \in d} = \mathfrak{C}_B(Tb_j) \text{ para todos los $j \in d$,}
$$
es decir, donde $(a_{i,j})_{i\in d}$ fijos $j$ es el coordinatization de la imagen de $b_j$ bajo $T$, es llamado el coordinatization de $T$ $B$ o de la matriz de $T$$B$. Uno puede llamar a la familia para $(a_{ij})_{i \in d}$ fijos $j$ $j$- ésima columna (de $(a_{ij})_{i,j\in d}$), y de la familia, $(a_{ij})_{j \in d}$ fijos $i$ $i$- ésima fila. Cada coordinatization tiene la propiedad de que cada columna contiene sólo finitely no-cero entradas.
Al igual que en el finito-dimensional caso, se puede definir entonces $A\cdot x$ para un par de coordinatizations $A=(a_{ij})_{i,j\in d}$$x=(x_j)_{j\in d}$, mediante el establecimiento de
$A\cdot x := (y_i)_{i\in d}$ donde $y_i = \sum_{j \in d} a_{ij} x_j$.
Desde $x_i \neq 0$ sólo un número finito de veces, es claro que la suma siempre existe. Así que la pregunta sigue siendo, ¿es alwas válido coordinatization, es decir, se $y_i \neq 0$ también sólo un número finito de veces? Uno puede restringir la atención a los $n$ columnas de $A$ que corresponden a los no-cero $x_j$. Desde cada una de las columnas de una coordinatization $\mathfrak{C}_B(T)$ contiene onyl un número finito distinto de cero entradas, decir $m_1,\ldots,m_n$ $n$ columnas de interés, se sigue que $y_i$ contiene en la mayoría de las $m_1+\ldots+m_n$ cero entradas.
Usted también consigue un producto de matrices $A\cdot B$, por collecing los productos de $A\cdot x$ $x$ rangos de las columnas de a $B$, es decir, tiene
$A\cdot B := (c_{ij})_{i,j\in d}$ donde $(c_{i,j})_{i \in d} = A\cdot (b_{ij})_{i \in d}$
para todos los $j \in d$, es decir, el $j$-ésima columna de a $A\cdot B$ $A$ veces $j$-ésima columna de a $B$.
