El mapa biyectivo que preserva los productos internos es lineal

Question

La pregunta proviene del libro de Kaplansky Álgebra lineal y geometría en la página 96 ejercicio 2

Dejemos que $V$ sea un espacio de producto interno no singular de característica $\neq2$ . Dejemos que $T$ sea un mapa uno a uno de $V$ sobre sí mismo, enviando $0$ a $0$ y satisfactorio $(x-y, x-y) = (Tx - Ty, Tx - Ty)$ para todos $x,y \in V$ . Demostrar que $T$ es ortogonal.

Que $T$ preserva los productos internos es fácil, pero no sé cómo demostrar que es lineal. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Dejemos que $a, b \in F$ , un campo de char $\ne 2$ y $V$ ser un $F$ -espacio vectorial.

Observando que $T$ preserva los productos internos, vemos que $0=\langle ax+by,z \rangle - a \langle x, z \rangle - b \langle y, z \rangle =\langle T(ax+by)-aTx -bTy, Tz \rangle$ para cualquier $x ,y, z \in V$ .

Como el producto interior es no singular y $T$ es en, tenemos que $T(ax+by) -aTx-bTy = 0 \forall x,y \in V$ y $ a,b \in F$ . Esto demuestra la linealidad de $T$ .