Que $\alpha \in \mathbb{C}$ ser un número algébrico y $\alpha = \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n$ sus conjugados y $N(\alpha) = \prod_i \alpha_i$ su norma. ¿Es cierto que $|\alpha|
Respuestas
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Xenph Yan
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Para el caso especial de enteros algebraicos, la respuesta es no en un sentido fuerte. Tenga en cuenta que si lo que dices es cierto, implicaría que si $N(\alpha) = \pm 1$, $|\alpha_i| = 1$ para todos los conjugados de $\alpha$.
La proposición: Vamos a $\alpha$ ser un entero algebraico en la que todos los conjugados tienen valor absoluto $1$. A continuación, $\alpha$ es una raíz de la unidad.
Prueba. Deje $\alpha = \alpha_1$ han conjugados $\alpha_1, ... \alpha_d$ y dejar $$f_n(x) = \prod_{i=1}^d (x - \alpha_i^n).$$
El coeficiente de $x^k$ $f_n(x)$ es un entero de valor absoluto en la mayoría de los ${d \choose k}$ para todos los valores de $n$, por lo que se deduce que el $f_n(x)$ sólo puede ser uno de una lista limitada de polinomios. Por lo tanto, no existe $m, n$ tal que $f_n(x) = f_m(x)$, y esta relación implica que ciertos pares de poderes de $\alpha_1$ son idénticas.
Por lo tanto si $\alpha$ es un entero algebraico que no es una raíz de la unidad, algunos conjugado de $\alpha$ tiene valor absoluto mayor que $1$, y si $N(\alpha) = \pm 1$, a continuación, algunos conjugado de $\alpha$ tiene valor absoluto menos de $1$.
Goofy
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Por supuesto $$P_c(z) = z^3-2cz^2-c$$ has three roots, let us call them $a$,$b$ and $\bar b$. The roots $b$ and $\bar b$ lie within the unit circle but the root $a$ escapes along the real axis to infinity as the parameter $c$ increase from $1$ to $\infty$. Note that these are algebraic integers with norm $c$, two of which have "absolute value" below 1 (and getting smaller) and one of which has as big absolute value close to $2c$.
La interpretación geométrica de norma algebraica (en algún campo número) es absolutamente nada que ver con la métrica del plano complejo. En realidad forma un enrejado tridimensional más atravesado por una base integral y la norma de un número algebraico, expresada en términos de la base, es la distancia de ese punto al origen.
