¿Hay más grupos que anillos?

Question

Me parece bastante claro que ambos son al menos incontables (lo que creo que podría demostrar con algo de trabajo). También parece que debería ser capaz de hacer algún argumento diagonal sobre los dos, pero no estoy muy seguro de cómo hacerlo. He intentado pensar en funciones entre grupos y anillos y en formas de crear grupos a partir de anillos y viceversa, e incluso creo haber encontrado algunas funciones inyectivas y/o suryentes, pero no parece que llegue a ninguna parte.

¡Cualquier sugerencia sería genial!

Answer 1

Hay grupos y anillos de clase propia muchos - de hecho, hay clase propia muchos $X$ s, para cualquier tipo razonable de estructura matemática $X$ . Una forma de demostrarlo es la siguiente: dado un cardinal $\kappa$ el producto directo de $\kappa$ -muchos anillos sigue siendo un anillo, y lo mismo ocurre con los grupos.

Entonces, ¿hay algún sentido en el que haya "más" grupos que anillos? Ciertamente, todo anillo es también un grupo abeliano, y hay grupos abelianos (como $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ) que no puede ser el grupo subyacente de ningún anillo, así que en ese sentido hay "más" grupos. Pero esto es como decir que hay más racionales que enteros.

Por supuesto, podemos decir que hay más grupos de tamaño $\le n$ que hay anillos de tamaño $\le n$ para un número fijo y finito de $n$ . Esto es no trivial: como los anillos implican dos operaciones binarias, hay más anillos posibles de tamaño $\le n$ que los posibles grupos de tamaño $\le n$ (concretamente, hay más estructuras en la lengua $\{+, -, \times, 0, 1\}$ de tamaño $\le n$ que hay estructuras en la lengua $\{+, -, e\}$ de tamaño $\le n$ ), pero es cierto.

Una vez que llegamos a las estructuras infinitas, esto se rompe por completo: hay $2^{\aleph_0}$ -muchos anillos de tamaño $\aleph_0$ que es el mayor número posible. Para ver esto, dejemos $X$ sea cualquier conjunto de números naturales; entonces podemos formar un anillo adosando a $\mathbb{Z}$ los elementos ${1\over p_i}$ (donde $p_i$ denota el $i$ primo) para cada $i\in X$ . Esto se generaliza para mostrar que hay $2^{\kappa}$ -muchos anillos de cardinalidad $\kappa$ para cada infinito $\kappa$ (ejercicio).

NOTA no son sólo anillos distintos, sino que son anillos que incluso no son isomorfos.

Por otro lado, si vemos una estructura contable (en un lenguaje fijo) como un número real (esto se puede hacer de varias maneras), entonces la "probabilidad" de que algo sea un anillo o un grupo es cero; es decir, los reales que codifican grupos, o anillos, tienen medida de Lebesgue cero. Así que no se pueden comparar de forma significativa a través de la medida.

Answer 2

La colección de todo grupos y la colección de todo Los anillos son, como la colección de todo conjuntos, clases adecuadas (coloquialmente, son "demasiado grandes para ser un conjunto").

Para cualquier conjunto $S$ lo que sea, puede formar el grupo libre $F_S$ y el anillo conmutativo $\mathbb{Z}[S]$ y si tiene conjuntos distintos $S\neq T$ entonces $F_S\neq F_T$ y $\mathbb{Z}[S]\neq\mathbb{Z}[T]$ . Por tanto, hay "al menos tantos" grupos y anillos como conjuntos.

Answer 3

Pista: En el entorno del Universo de Grothendieck, podemos hablar del tamaño del conjunto de pequeño grupos (denotados por Grupo ) y la de pequeño anillos (denotados por Rng ), aunque creo que no tiene mucho sentido. Entonces el mapeo que envía cada grupo pequeño al anillo de grupo correspondiente es una inyección de Grupo a Rng . También me he encontrado con algunas inyecciones de Rng a Grupo pero ninguno de ellos es muy natural.

Answer 4

Hay más grupos que anillos en el sentido de que el functor de olvido de Anillos a Grupos que selecciona el grupo aditivo de un anillo no es suryente, incluso si se restringe a Grupos abelianos . En otras palabras, no todo abeliano es el grupo aditivo de un anillo .