La pregunta no está clara, ya que, como mencionó Derek Holt, no se ha definido "problema de palabras resoluble". Si tienes una presentación con una secuencia de generadores, puedes hacer dos preguntas:
1) si este grupo dotado de esta familia generadora tiene un problema de palabras resoluble
2) si este grupo es isomorfo a un grupo computable (es decir, es finito o isomorfo a $\mathbf{N}$ dotado de una ley computable; esto significa también que admite una familia generadora (quizá no la inicial) para la que el problema de palabras es resoluble.
Por ejemplo, como una variación de la respuesta de Ferov: dejemos $K\subset\mathbf{N}$ sea un conjunto recursivamente enumerable y no recursivo.
a) Considere el grupo $\langle x_1,x_2,\dots\mid x_k=1 \forall k\in K\rangle$
entonces el problema de la palabra no es resoluble con respecto a esta familia generadora. Pero, por supuesto, este grupo es abeliano libre de rango contable, por lo que tiene un problema de palabras solucionable con respecto a una mejor elección de la familia generadora.
b) Si en cambio consideramos, el grupo $$\langle x_1,x_2,\dots\mid x_j^j=1 \forall j\in\mathbf{N},\;x_k=1\forall k\in K\rangle,$$ entonces es isomorfo a $A_K=\bigoplus_{k\in\mathbf{N}-K}\mathbf{Z}/k\mathbf{Z}$ . Supongamos ahora que $K$ contiene todos los no-primos: entonces si $A_K$ fueran computables, podríamos enumerar todos los órdenes de elementos de torsión de $A_K$ que es exactamente $\mathbf{N}-K$ una contradicción.
