¿Interpretar los vectores de estado y las matrices de densidad según la interpretación frecuentista o bayesiana de la probabilidad?

Question

Hice una pregunta en el intercambio de pilas de matemáticas qué significa la probabilidad . No conocía previamente la interpretación frecuencial y bayesiana de la probabilidad. Entonces, ¿conforme a qué interpretación se definen los operadores de densidad y los cuadrados de amplitud del vector de estado? Estoy leyendo la introducción a la información cuántica de Nielsen y Chuang . Para los operadores de medición $\{M_m \}$ tal que $\sum_m M_m^{\dagger}M_m=I$ el libro define la probabilidad de que el resultado sea $m$ como $\langle \psi|M^{\dagger}M_m|\psi\rangle$ al medir el estado $|\psi\rangle$ . También definen de forma similar en términos de operador de densidad. Entonces, ¿todo esto es según la interpretación frecuencial o bayesiana de la probabilidad o se utilizan ambas interpretaciones cuando una parece más adecuada?

Answer 1

Es bastante difícil ser bayesiano sobre la mecánica cuántica sin creer en algún tipo de teoría de variables ocultas subyacente. Tales teorías son muy impopulares en la cultura moderna (por no mencionar que han sido falsificadas experimentalmente en la mayoría de los casos), por lo que la interpretación mayoritaria entre los físicos es la operacionalista/frecuentista.

Answer 2

Heisenberg habla de la probabilidad en su Física y Filosofía. En primer lugar, subraya que la mecánica cuántica contiene probabilidades objetivas y frecuentistas:

La probabilidad en matemáticas o en mecánica estadística significa un afirmación sobre nuestro grado de conocimiento de la situación real. En lanzando los dados no conocemos los detalles del movimiento de nuestras manos que determinan la caída de los dados y, por lo tanto, decimos que la probabilidad de lanzar un número especial es sólo una entre seis. La La onda de probabilidad de Bohr, Kramers y Slater, sin embargo, significaba más que eso. que eso; significaba una tendencia a algo. Era una versión cuantitativa del viejo concepto de "potentia" de la filosofía aristotélica. En introdujo algo que se interpone entre la idea de un acontecimiento evento y el evento real, una extraña clase de realidad física justo entre la posibilidad y la realidad.

Continúa argumentando que, además de la probabilidad objetiva, existe una probabilidad subjetiva, bayesiana, relacionada con nuestro conocimiento incompleto sobre la función de onda inicial:

Esta función de probabilidad representa una mezcla de dos cosas, en parte a hecho y en parte nuestro conocimiento de un hecho. Representa un hecho en la medida en que en la medida en que asigna en el momento inicial la unidad de probabilidad (es decir completa certeza) a la situación inicial: el electrón moviéndose con la velocidad observada en la posición observada; "observado" significa observado dentro de la precisión del experimento. Representa nuestro conocimiento en la medida en que otro observador podría quizás conocer la posición del electrón con mayor precisión. El error en el experimento no representa, al menos en cierta medida, una propiedad del electrón, sino una electrón, sino una deficiencia en nuestro conocimiento del electrón... la función de probabilidad contiene el elemento objetivo de la tendencia y el elemento subjetivo del conocimiento incompleto

El punto clave es que, incluso con la máxima información sobre la función de onda, no podemos hacer predicciones concretas para todos los observables de la mecánica cuántica: existe una incertidumbre intrínseca y objetiva, no relacionada con nuestro grado de conocimiento. Por esa razón, es difícil entender la mecánica cuántica con una probabilidad puramente bayesiana.

A pesar de ello, el QBismo (bayesianismo cuántico) es una interpretación de la mecánica cuántica que pretende hacer precisamente eso. Sin embargo, en mi opinión, la interpretación es inconsistente. Además, es concebible, por supuesto, que las probabilidades en la mecánica cuántica sean el resultado de nuestro conocimiento incompleto de las llamadas "variables ocultas"; si fuera así, la probabilidad en la mecánica cuántica sería, en efecto, bayesiana, como el ejemplo de Heisenberg de lanzar un dado.

Answer 3

A nivel fundamental, si se pregunta si el universo tiene variables desconocidas (que la estadística bayesiana suele desvelar en otras ciencias), la respuesta es no se puede probar .

Si preguntas si alguna de las matemáticas parece igual, la respuesta es un sí inequívoco, aunque debes recordar que calcular una probabilidad en la estadística bayesiana es fundamentalmente diferente de la QM. En su lugar, calculamos cualquier número de cantidades intermedias con matemáticas que parecen casi idénticas a las de la estadística bayesiana. Esto nos permite comprender una serie de procesos intermedios demasiado difíciles de medir directamente.

Por ejemplo, una colección de estados conocidos interactúa con un potencial desconocido. Cuando medimos los resultados, utilizamos potenciales de prueba para ajustar los datos. A continuación, cuantificamos lo bien que se ajustan esos potenciales. Este es un enfoque categóricamente bayesiano y sabemos cómo se ajusta una variedad de potenciales que son demasiado pequeños para medirlos directamente gracias a esta matemática. Matemáticamente, un enfoque puramente frecuencial sería simplemente informar de los datos y no aventurarse a adivinar la forma del potencial, ya que es una condición previa.

En cuanto a la interpretación de lo que significa cualquier cosa, cuando se trata de discusiones bayesianas frente a frecuencistas, hablan de cosas diferentes: los bayesianos dirán que la probabilidad es $a$ dado $b$ y son $c$ no está seguro de $a$ o $b$ mientras que los frecuentistas dicen que la probabilidad es $b$ y la incertidumbre de eso es $d$ . Cuando se trata de su ejemplo, si $|\psi \rangle$ ha sido preparado de alguna manera, estás haciendo un cálculo bayesiano, y si no ha sido preparado, estás haciendo un enfoque frecuentista (parece $| \psi \rangle$ no tiene restricciones, así que supongo que es frecuencial).