¿Las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo todas las transformaciones lineales?

Question

Las ecuaciones de Maxwell en notación tensorial dicen:

\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} &= J^\nu \\ \partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]} &= 0 \end{align}

Considere hacer una transformación de coordenadas general $x^\mu \rightarrow x^{\mu'}$ en la primera ecuación. (Nota: todo lo que sigue se aplica también a la segunda ecuación.) Escribiendo la ecuación en coordenadas primadas y luego expandiéndola en términos de coordenadas no primadas, encontramos que la ecuación se transforma en:

\begin{equation} \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu '}} \frac{\partial^2 x^{\mu '}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} \frac{\partial x^{\nu '}}{\partial x^\nu} F^{\mu\nu} + \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu '}} \frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^\mu} \frac{\partial^2 x^{\nu '}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} F^{\mu\nu} + \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu '}}\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\nu '}}{\partial x^{\nu }} \frac{\partial}{\partial x^\lambda} F^{\mu\nu} = \frac{\partial x^{\nu '}}{\partial x^{\nu }} J^{\nu } \end{equation}

Una condición suficiente para que la ecuación sea invariante bajo esta transformación es que los dos primeros términos del lado izquierdo desaparezcan, y una condición suficiente para que eso ocurra es que:

\begin{equation} \frac{\partial^2 x^{\mu '}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} = 0 \end{equation}

Integrando esta ecuación, encontramos que esta ecuación de Maxwell será invariante bajo un lineal transformación de coordenadas:

\begin{equation} x^{\mu '} = M{^{\mu'}_{\ \ \mu}} x^\mu + a^{\mu'} \end{equation}

Aquí, $M{^{\mu'}_{\ \ \mu}}$ es una matriz constante y $a^{\mu'}$ es un vector constante.

Formalmente, esto es cierto para todo transformaciones lineales, no sólo las transformaciones de Lorentz. Por supuesto, se puede apelar a la existencia de un campo métrico de Minkowski para restringir $M{^{\mu'}_{\ \ \mu}}$ para ser una matriz de Lorentz. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que esta ecuación parece ser formalmente invariante bajo todo transformaciones lineales. ¡Y no creía que fuera cierto que las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes bajo todas las transformaciones lineales!

Entonces: ¿alguien puede aclararme esto? ¿Las dos ecuaciones anteriores son realmente invariantes bajo todas las transformaciones lineales, o he cometido un error?

Answer 1

Hay una condición adicional que proviene del tercer término del lado izquierdo de tu ecuación transformada, donde has utilizado lo que parecía ser la regla de la cadena $$ \frac{\partial x^\lambda}{\partial x^{\mu'}}\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}=\delta^\lambda_\mu $$ En realidad, sin embargo, el posicionamiento no trivial de los componentes vectoriales covariantes y contravariantes hace que esta ecuación contenga algo más que la regla de la cadena, y de cara es lo que restringe $M^\mu_\nu$ para ser una transformación de Lorentz.

Sin bajar y subir, esto nos da el hecho conocido de que la matriz jacobiana es ortogonal. Teniendo en cuenta el posicionamiento del índice esto nos da la condición $$ M^T \eta M = \mathbb{1} $$ De lo contrario, todos los productos escalares en relatividad general serán invariantes bajo una transformación de coordenadas lineal general en lugar de una transformación de lorentz, cuando se requiere que la transformación sea global.

Answer 2

1. Sustituyamos primero el tensor métrico de Minkowski $$\eta~=~\eta_{\mu\nu}~\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}$$ con un tensor métrico constante más general $$g~=~g_{\mu\nu}~\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}.$$

2. Nótese que el tensor EM elevado $$F^{\mu\nu}~:=~g^{\mu\lambda} F_{\lambda\kappa}g^{\kappa\nu}$$ depende de la métrica (inversa). Las ecuaciones de Maxwell son covariantes bajo rigidez $GL(4)$ transformaciones si recordamos transformar la métrica (inversa) $g^{\mu\nu}$ en consecuencia.

3. Por otro lado, si los componentes métricos $g_{\mu\nu}$ se supone que son siempre iguales a la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)$ entonces las transformaciones rígidas $$\Lambda^{\mu}{}_{\nu}=\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}}$$ deben ser matrices de Lorentz.

4. Por último, mencionemos que es posible escribir Ecuaciones de Maxwell en un espaciotiempo curvo general para que sean covariantes generales.