Creando un nuevo conector en lógica proposicional

Question

En el ejercicio a continuación, se incluye un nuevo conectivo ($\sqsubset$), y yo estoy atrapado en cómo tratar con él.

Podemos ver la relación $\vDash$ $\varphi$ → $\psi$ como un tipo de pedido. Poner $\varphi$ $\sqsubset$ $\psi$ := $\vDash \varphi \rightarrow \psi \space and \nvDash \psi \rightarrow \varphi$.

(i) Para cada una de las $\varphi, \psi$ tal que $\varphi \sqsubset \psi$, encontramos a$\sigma$$\varphi \sqsubset \sigma \sqsubset \psi$.

Supongo que, es necesario probar:
$\varphi \rightarrow \sigma$ $\sigma \nrightarrow \varphi$,
$\sigma \rightarrow \psi$ $\psi \nrightarrow\sigma$

Considerando $\varphi \sqsubset \psi := \space\vDash\varphi\rightarrow\psi$$\nvDash \psi\rightarrow\varphi$, podemos escribir:

$\varphi \sqsubset\psi \leftrightarrow(\varphi\rightarrow\psi)\space\land\space\lnot\space(\psi\rightarrow\varphi)$

$$\begin{array}{rcc|c|cccc} (\varphi & \rightarrow & \psi ) &\land & \lnot & (\psi&\rightarrow&\varphi) \\ \hline \ 0&1&0&0&0&0&1&0 \\ \ 0&1&1&1&1&1&0&0 \\ \ 1&0&0&0&0&0&1&1 \\ \ 1&1&1&0&0&1&1&1 \\ \end{array}$$

Así, podemos definir la tabla de verdad de $\space\sqsubset$

$$\begin{array}{c|cc} \sqsubset & 0 & 1 \\ \hline \ 0&0&1 \\ \ 1&0&0 \\ \end{array}$$

El problema es encontrar $\sigma$ tal que $\varphi\sqsubset\sigma\sqsubset\psi$

Tabla de verdad:

$$\begin{array}{ccc|c|ccc} (\varphi & \sqsubset&\sigma)&\land&(\sigma&\sqsubset&\psi) \\ \hline \ 0&0&0&0&0&0&0 \\ \ 0&0&0&0&0&1&1 \\ \ 0&1&1&0&1&0&0 \\ \ 0&1&1&0&1&0&1 \\ \ 1&0&0&0&0&0&0 \\ \ 1&0&0&0&0&1&1 \\ \ 1&0&1&0&1&0&0 \\ \ 1&0&1&0&1&0&1 \\ \end{array}$$

Nos encontramos con una contradicción, por lo que podemos concluir $\sigma = \bot$

Es esta una manera correcta? Estoy un poco confuso sobre el símbolo $\sqsubset.$

Answer 1

Si considera el lenguaje con una sola proposición fundamental$P$ y toma$\phi = \perp$,$\psi = P$, entonces$\phi \sqsubset \psi$, pero está claro que no hay ninguna fórmula que se refiera a$P$ solo puede yacer entre ellos.

Entonces, en general (i) es verdadero solo si se le permite introducir una nueva letra proposicional, y luego la fórmula$\sigma$ necesita tener el valor$T$ en todas partes en la nueva tabla de verdad que$\phi$ lo hace, pero no en todas partes, en que$\psi$ lo hace.

Answer 2

Creo que hay una gran cantidad de confusión aquí. Me voy a dar una solución completa a este problema, y animo a los OP de averiguar por qué están argumento no funciona.

HTFB la respuesta es correcta, así que vamos a suponer que estamos trabajando en un lenguaje proposicional con una infinidad de variables proposicionales. Luego se le da $\varphi\sqsubset\psi$, podemos dejar que la $P$ ser una variable proposicional no se producen en cualquiera de las $\varphi$ o $\psi$ (desde $\varphi$ $\psi$ son sólo finitely de largo). Ahora, considere la fórmula $$\sigma:\quad \varphi\vee (\psi\wedge P).$$ This formula is true whenever $\varphi$ is true, so $\modelos \varphi\implica \sigma$; meanwhile, since $\varphi\sqsubset\psi$ and $P$ is not involved in $\varphi$ or $\psi$, we can find a truth assignent making $\psi$ and $P$ true but $\varphi$ false. So $\varphi\sqsubset\sigma$.

Mientras tanto, es claro que $\models\sigma\implies\psi$, pero el recíproco no es cierto: desde $P$ no se usa en $\varphi$ o $\psi$, podemos encontrar una verdad de la asignación de decisiones $\psi$ cierto, pero $P$ $\varphi$ (y, por tanto,$\sigma$!) falso. (Debe ser posible encontrar una verdad de la asignación de decisiones $\psi$ cierto, ya que de lo contrario "$\varphi\sqsubset\psi$" sería absurdo.) Por lo $\sigma\sqsubset\psi$.

Así que hemos terminado.