$\sup_n \int |f_n|^{1 + \gamma}d\mu < \infty$ implica $\{f_n\}$ es uniformemente integrable?

Question

Supongamos que $\mu$ es una medida finita y para algunos $\gamma > 0$ tenemos $$\sup_n \int |f_n|^{1 + \gamma}d\mu < \infty.$$ ¿Se deduce que $\{f_n\}$ es uniformemente integrable?

Answer 1

Sí, si $\mu$ es una medida finita y la familia $\{f_n\}$ está acotado en $L^p$ para algunos $p>1$ entonces es uniformemente integrable.

Para demostrarlo, dejemos que $M=\sup_{n}||f_n||_p$ y que $q$ sea el exponente conjugado de $p$ (nota que $q<\infty$ ). Dado $\varepsilon>0$ , dejemos que $\delta=\frac{\epsilon^q}{M^q}$ y supongamos que $\mu(E)<\delta$ . Entonces por la desigualdad de Holder, $$ \int_E|f_n|\;d\mu\leq ||f_n||_p||1_E||_q\leq M\mu(E)^{\frac{1}{q}}<\varepsilon $$ para todos $n$ Por lo tanto $$ \sup_n\int_E|f_n|\;d\mu<\varepsilon $$