Si$S(n)$ es un entero impar, ¿cuál es la suma de todos los posibles$\frac1n?$

Question

Si $n$ es un número entero positivo, que $S(n)$ sea la suma de todos los divisores positivos de $n$.

Si $S(n)$ es un entero impar, cuál es la suma de todas las posibles $\frac1n?$

La función $S$ es multiplicativa y por lo tanto, si tenemos la primera factorización $n = p_1^{a(1)}p_2^{a(2)} \cdots p_m^{a(m)}$, donde $p_1,p_2,...,p_m$ son números primos distintos, entonces ¿cómo sigo solucionar esto?

Answer 1

La función de $S$ es multiplicativo y por lo tanto, si tenemos la el primer factorización $n = p_1^{(1)}p_2^{(2)} \cdots > p_m^{a(m)}$, where $p_1,p_2,...,p_m$ son distintos de los números primos.

Continuando con lo que me dijo

$ S(n) \; = \; \prod_{k=1}^m S\big(p_k^{a(k)}\big) \; = \; \prod_{k=1}^m \big(1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{a(k)}\big) $

Tenga en cuenta que $S(2^n) = 2^{n+1}-1$ es extraño que todos los $n \ge 1$, mientras que $S(p^n)$ es impar precisamente al $n$ es incluso para cualquier extraño prime $p$.

Si $S(n)$ es para ser impar, debemos tener $S\big(p_k^{a(k)}\big)$ impar para todos los $k$, y por lo tanto el índice de cualquier extraño el primer factor de $n$ debe ser par. Así el conjunto de los números $n$ que $S(n)$ es impar es el conjunto de los cuadrados perfectos, junto con el conjunto de dos veces los cuadrados perfectos. Por lo tanto necesitamos evaluar

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}+ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^2} \; = \; \tfrac32\zeta(2) \; = \; \boxed{\tfrac14\pi^2} $

Answer 2

Sugerencia Los divisores de $p_i^{a(i)}$ son $1, p_i, p_i^2,...,p_i^{a(i)}$. La suma es...

Answer 3

$S(n)$ es multiplicativa, así $S(n) = \prod_{i=1}^m S(p_i^{a_i})$. Si cualquiera de lo $S(p_i^{a_i})$ incluso, todo el producto será incluso. ¿Cuál es la condición de $S(p^a)$ ser incluso para algunos prime $p$y número natural $a$? ¿Lo que hace que te dicen sobre el conjunto de números $n$ que $S(n)$ es impar?

Una vez que ha descubierto esto, vas a tener que sumar la serie. Usted querrá factor de una serie geométrica que implica poderes de $2$, y usted necesitará utilizar el hecho de que $\sum_{k=0}^\infty k^{-2} = \pi^2/6$.