Generalización de orden superior de la distribución normal multivariante

Question

En cierto sentido, la distribución normal multivariante es la distribución "más agradable" que podemos describir usando solo un vector (tensor de rango uno) y una matriz simétrica definida positiva (tensor de rango dos). $$\mathcal{N}(\mu_i, \Sigma_{ij}) = |2\pi\Sigma|^{-\frac{1}{2}}e^{-(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$$

¿Existe una generalización a tensores de orden superior? Es decir, ¿existe una distribución "más agradable" descrita por un vector, una matriz simétrica y un tensor de tercer orden simétrico? $\mathcal{M}(\mu_i, \Sigma_{ij}, \Pi_{ijk})$ ?

Answer 1

No creo que haya una respuesta positiva a tu pregunta. La belleza de la distribución normal, univariada o multivariada, radica en que se define fácilmente por los cumulantes de orden superior a dos siendo cero. (El cumulante de orden $k$ es la $k$-ésima derivada normalizada de la función característica: $\kappa_k = i^{-k} \frac{\partial^k}{\partial t^k} \phi (t) |_{t=0}$). El TEV establece que, esencialmente, para todo $k$, $\kappa_k = o(1)$ cuando $n\to\infty (y el ritmo se puede establecer).

Sin embargo, la propiedad de los cumulantes cero es muy frágil. Una vez que te desvías de un tercer cumulante cero, todos los cumulantes de orden superior tienen que ser distintos de cero también; no hay ninguna distribución para la cual $\kappa_4=0$ si $\kappa_3\neq 0$. Así que para cada valor de asimetría (que al parecer se refleja en el tercer cumulante), hay un rango de valores razonables para otros cumulantes, y la belleza de la distribución estará en los ojos de quien la mire.

De alguna manera, el "pariente más cercano" de la distribución normal multivariada es la distribución skew-normal. Su densidad es la densidad normal "filtrada" por una función de distribución normal: $f(x;\Sigma,\alpha) = 2f(x;\mu,\Sigma)\Phi(\alpha'x)$ donde $f(x;\Sigma)$ es la densidad de una normal multivariada con vector de media cero y matriz de covarianza $\Sigma$, y $\Phi(z)$ es la función de distribución normal estándar. Entonces, en realidad no tienes un tensor aquí, sino solo un vector de sesgo. Bastante conveniente, para $\alpha=0$ obtienes el caso especial de una distribución normal multivariada.

Otra forma de abordar el tema es desde el punto de vista de las leyes estables. Una ley estable es una distribución tal que la transformación lineal de variables aleatorias que tienen esta distribución, nuevamente tiene esta distribución, posiblemente escalada y desplazada. La distribución normal es un ejemplo obvio; y Cauchy es otro ejemplo, aunque mucho menos obvio. Las leyes estables se definen implícitamente por su función característica: $\phi(t) = \exp[ i t \mu - |ct|^\alpha (1-i \beta \, {\rm sign} (t) \Phi]$. Aquí, $\mu$ es el parámetro de desplazamiento, $c$ es el parámetro de escala, $\alpha$ es el parámetro de estabilidad, $\beta$ es el parámetro de asimetría, y $\Phi=\tan(\pi\alpha/2)$ para $\alpha\neq1$, y $\Phi=-2/\pi \ln|t|$ para $\alpha=1$. ($\alpha=2, \beta=0$ da la distribución normal; $\alpha=1, \beta=0$ da la distribución de Cauchy; los momentos más allá del primero existen solo para $\alpha=2$.) Wikipedia proporciona una serie de imágenes. Las extensiones multivariadas de las leyes estables también existen (¡gracias a @mpiktas por señalarlas!).