La característica, o generando, en función de mecánica cuántica de los sistemas es no conmutativa la generalización de la correspondiente concepto clásico de probabilidad.
Consideremos el siguiente clásica situación (esto se puede generalizar, en muchas maneras, pero es conveniente seguir con un simple ejemplo aquí). Deje $\mu$ ser una probabilidad (medida) que actúa sobre un número finito de dimensiones reales espacio vectorial $V$. Su función característica, o la transformada de Fourier, $\hat{\mu}$ se define como una función de la doble $V'$ $V$ a los números complejos como sigue: para todos los $\omega\in V'$,
$$\hat{\mu}(\omega)=\int_V e^{i\omega(v)}\mathrm{d}\mu(v)\; .$$
La función de $\hat{\mu}(\cdot)$ tiene las siguientes propiedades: es continua, $\hat{\mu}(0)=\mu(V)=1$, y es positivo-defnite: para cualquier $N\in\mathbb{N}$, $\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, y $\{\omega_i\}_{i=1}^N\subset V'$
$$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\mu}(\omega_i-\omega_j)\geq 0\; .$$
El teorema de Bochner realidad nos dice que
Hay un bijection entre las probabilidades en $V$ y funciones continuas en $V'$ que son positivos definida y tiene un valor de cero; tales bijection es exactamente la transformada de Fourier.
Por lo tanto, la transformada de Fourier identifica de forma exclusiva (lo caracteriza) una probabilidad.
En la mecánica cuántica, no es perfectamente análogo no conmutativa resultado. Vamos a considerar el álgebra de la canónica de relaciones de conmutación construido sobre las finito dimensionales real simpléctica espacio de $(S,\sigma)$. Es bien sabido que el $(S,\sigma)\cong (\mathbb{R}^{2d},\omega)\cong (\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}},\Im \langle \cdot,\cdot\rangle)$ donde $\omega$ es el estándar de la forma simpléctica, $\langle \cdot,\cdot\rangle$ el complejo producto escalar, y $\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}}$ es el espacio $\mathbb{C}^d$ considerado como un verdadero espacio vectorial. En otras palabras, es posible ver las variables sobre las que se construye el álgebra de la canónica de relaciones de conmutación como la posición y el momentum $(q',p')\in \mathbb{R}^{2d}$ o como el de variable compleja $z\in \mathbb{C}^d$ (y su complejo conjugado).
Al regular los estados de la álgebra de la canónica de relaciones de conmutación son los estados que puede ser escrito como la densidad de las matrices en la habitual representación de Schrödinger. En otras palabras, ellos son (positivo) de la traza de la clase de los operadores (de seguimiento) de que sólo dependen de la canónica cuántica variables, es decir, la posición y el impulso de los operadores o, equivalentemente, la creación y la aniquilación de los operadores. Estos operadores $\rho(a^*,a)$ son no conmutativa probabilidades en la teoría cuántica. Permítanme comentar que desde que se traza la clase, su seguimiento puede ser tomado y tiene un valor finito, y que son positivos los operadores. El hecho de que su rastro es uno no es importante, y de hecho todo lo que podía hacer por positivo de la clase de seguimiento a los operadores arbitraria de seguimiento.
Vamos ahora a $\rho(a^*,a)$ ser una probabilidad no conmutativa. El papel desempeñado por el carácter $e^{i\omega(v)}$ en un conmutativa de la teoría es desempeñado por el operador de Weyl $e^{a^*(z)-a(z)}$, $z\in \mathbb{C}^d$ en la mecánica cuántica. Por lo tanto, es natural definir la función característica, o no conmutativa la transformada de Fourier, en la mecánica cuántica como:
$$\hat{\rho}(z)=\mathrm{Tr}\{\,\rho(a^*,a)\, e^{a^*(z)-a(z)}\}\; .$$
$\hat{\rho}(z)$ es un número complejo para cualquier $z$ desde $\rho(a^*,a)$ es de la clase de seguimiento. Además, es una función continua, $\hat{\rho}(0)=1$, y es casi-positivo-definida: para cualquier $N\in\mathbb{N}$, $\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, y $\{z_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}^d$
$$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\rho}(z_i-z_j)e^{i\Im \langle z_i,z_j\rangle}\geq 0\; .$$
Es muy bueno que para no conmutativa probabilidades, no conmutativa del teorema de Bochner (demostrado por I. Segal en los años cincuenta):
Hay un bijection regulares entre estados en el álgebra de la canónica de relaciones de conmutación $(S,\sigma)$ y funciones continuas en $S$ que son casi-positivo-definida y tiene un valor de cero; tales bijection es exactamente la no conmutativa la transformada de Fourier.
Por lo tanto, cualquier regular estado cuántico (el positivo y el seguimiento de la clase de operador) en el álgebra de la canónica de relaciones de conmutación $(S,\sigma)$ se caracteriza únicamente por un continuo y casi-positivo-definida de la función en $S$. Este es, en mi opinión, una versión más precisa de la instrucción dada por los autores del documento citado por el OP. Como una observación, el no conmutativa Bochner teorema es verdadero también para bosonic las teorías cuánticas del campo, es decir, incluso si $S$ es infinito-dimensional (con modificaciones adecuadas).
Como comentario final, si la función de $\rho(a^*,a)$ no es positivo, pero todavía seguimiento de la clase, uno debe ser un poco cuidadoso en dar su función característica. Cada clase de seguimiento operador $A$ puede ser el único escrito como la combinación de cuatro positivo operadores de $A_1,A_2,A_3,A_4$:
$$A=A_1-A_2+i(A_3-A_4)\; .$$
Por lo tanto, todos los operadores $\rho_1(a^*,a)$, $\rho_2(a^*,a)$, $\rho_3(a^*,a)$, $\rho_4(a^*,a)$ se caracterizan por su carácter de función con las propiedades habituales, pero la función característica de un no positivo $\rho(a^*,a)$ es no casi-positivo-definida. No obstante, se puede decir que cada clase de seguimiento de la función de creación y aniquilación de los operadores es la única que se caracteriza por cuatro continuo y casi-positivo-funciones definidas en $S$.
