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Es claro por la composición que $f$ es suave. Tan sólo tenemos que demostrar que los derivados son acotados, decir $A=\{x\;;|x|\geq 2\}$. Desde $f$ es incluso podemos restringir a $I=[2,+\infty)$.
Esta forma de $f$ no es manejable. Observe que para $x\neq 0$, $$ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{(\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{x^2+1}-1)}=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}-\frac{1}{x^2}. $$ Es trivial comprobar que los derivados de la $\frac{1}{x^2}$ son todos delimitada $I$, por lo que podemos centrarnos en $$ g(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}=\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}. $$ Ahora podemos utilizar el poder de la serie representación de $(1+u)^{1/2}$$0$, cuyo radio de convergencia es $1$, para obtener $$ g(x)=\frac{1}{x}\sum_{n\geq 0}\binom{1/2}{n}\left(\frac{1}{x^2}\right)^n=\sum_{n\geq 0}\binom{1/2}{n}x^{-2n-1} \quad \forall x\geq 2 $$ con normal de convergencia $0\leq x^{-1}\leq \frac{1}{2}<1$. Término por término diferenciación resulta así, como estos de rendimiento después de $k$ diferenciaciones $$ \frac{1}{x^{k+1}}\sum_{n\geq 0}\binom{1/2}{n}(-2n-1)(-2n-2)\cdots(-2n-k-1)(x^{-2})^n. $$ De curso $\frac{1}{x^{k+1}}$ está delimitada en $I$, y la energía restante de la serie evaluados en $x^{-2}$ todavía tiene radio de $1$. Por lo tanto el último converge normalmente en $I$ por cada $k$. Por lo tanto, una simple inducción justifica simultáneamente término por término de diferenciación y acotamiento en $I$.
Si usted sabe algunos de análisis complejo, simplemente puedes decir algo como
La función es analítica y delimitada en la franja de gaza $|\Im z|\le 1/2$. Aplicar la estimación de Cauchy en cada círculo de radio $1/2$ centrada en la recta real y la conclusión.
Si no lo hace, pero aún fuertemente prefieren evitar cualquier tipo de debate sobre "la forma general de la expresión de la $n$-ésima derivada", sólo se puede decir que la función de $[0,\infty)\ni y\to \frac{1}{1+y}$ está vinculada con todos los derivados (explícito de la fórmula), por lo tanto, por la regla de la cadena, por lo que será suficiente para mostrar que todos los derivados de $F(x)=\sqrt{x^2+1}$ son acotados. Sin embargo, $F(x)^2=x^2+1$, $F'(x)$ está delimitado por una fórmula explícita, y, por la regla del producto para la $n$-ésima derivada con $n\ge 2$, tenemos $$ 2F^{(n)}F+\sum_{k=1}^{n-1}{n\elegir k}F^{(k)}F^{(n-k)}=\begin{cases}2,&n=2\\0,&n>2\end{casos} $$ de donde la conclusión se deduce por inducción utilizando la desigualdad de $F\ge 1$.
Sugerencia: Usted no necesita una forma explícita para los derivados, que sólo necesita de su líder de comportamiento para un gran $x$. Usted puede hacer esto mediante la consideración de lo que le da la mayor contribución.
Advertencia - $\sin x^2$ es limitada, pero su derivada es no. Tendrás que ser un poco cuidadoso en lo tire a la basura.
Deje $u=\sqrt{1+x^2}\sim x$. A continuación,$u'=x/u\sim 1$. Como resultado, usted puede comprobar que $u^{(n+1)}\sim x^{-n}$ desde todos los derivados son sólo polinomios en $x$ sobre los poderes de $u$ y no hay ninguna diferencia en el orden entre la diferenciación con respecto a $x$ o $u$.
Del mismo modo, se puede deducir que cualquier derivado de la $1/(1+u)$ tiene la forma de una suma de fracciones que a su vez tienen la forma de un producto de derivados de $u$ en el numerador y una potencia del denominador a continuación. Entonces el numerador es en la mayoría de orden 1 y el denominador se desintegra.
Un método alternativo es escribir
$$f'(x)=-f(x)^2\times x/u$$
A continuación, se puede proceder por inducción.
