Cómo obtener la fuerza de campo eléctrico de una placa como aproximación de una esfera

Question

Supongamos que usted sabe que el campo eléctrico a una distancia $r > R$ desde el centro de una esfera cargada con carga en $Q$ y radio de $R$ está dada por:

$$ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{P}{r^2} $$

(Ley de Coulomb).

A partir de esto, quiero derivar el campo de campo eléctrico de una carga de la realización de la placa con densidad de carga $\sigma := \frac{Q}{A}$ con el siguiente argumento heurístico:

Comienzo a partir de las siguientes tres observaciones:

• Supongamos $r \approx R$
• La esfera es localmente plana
• El campo de la esfera a nivel local es aproximadamente homogénea

A continuación, este local de aproximadamente plana pequeña parte de la esfera debe ser el mismo que de una realización de la placa.

Desde el área total de la esfera es $A = 4\pi R^2$, puedo concluir:

$$ E = \frac{Q}{4\pi r^2} \frac{1}{\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} $$

debe ser el campo eléctrico de una esfera conductora (si están lo suficientemente cerca de ella y no en los límites de la placa).

Sin embargo, la fórmula correcta es:

$$ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $$

O desde otro punto de vista: La fórmula que se deriva es la correcta por dos placas conductoras paralelas con igual pero opuesta a las densidades de carga.

Entonces, ¿qué está mal con mi argumento de que puedo obtener un factor de $2$ mal? Hay alguna forma de modificar este argumento para obtener el resultado correcto de una manera clara y convincente?

Editar Como Phoenix87 comentó: La diferencia de nuestra situación local para que de una placa, que en el "local de la plata" (la pieza de la esfera) el campo es cero en uno de los lados. Si usted tiene sólo una placa, tiene una igual pero de sentido opuesto de campo en ambos lados. Por lo que la situación parece ser localmente de una de las placas de un condensador de placas paralelas, entonces la fórmula anterior sería correcto. Pero creo que este argumento no es muy clara. Alguna idea para mejorarlo?

Answer 1

Esta muy interesante, nunca he visto reproducido en los libros de texto en la electrostática. Siento que el problema puede ser debido al hecho de que se están multiplicando por un área $A=4\pi R^2$ como se tendrá en cuenta la superficie de la esfera en el lado opuesto, así como la superficie que están inmediatamente adyacentes.

Si se considera "aplanamiento" de la esfera que se habría duplicado la densidad de carga en la superficie como tendría dos positivos de las superficies de carga (es decir, los polos opuestos de la esfera).

No estoy del todo seguro, pero creo que lo correcto sería considerar la posibilidad de un hemisferio y el uso que iba a dar el resultado correcto.

Si usted se considera un hemisferio localmente (lo suficientemente cerca como para ignorar los efectos de borde y de modo que la superficie de la esfera aparece planar), a continuación, "aplanamiento" de la esfera conduce a una placa de área $2\pi R^2$ que te de el resultado correcto.

Answer 2

Buena pregunta! Como se ha dicho en los comentarios, el problema es que como está muy cerca de la esfera, usted tiene que tomar en cuenta toda la carga presente. Más precisamente, el campo en el interior es cero, no importa qué, a diferencia de una placa, en la que el campo es el mismo en ambos lados. Esto se explica por el factor de $2$.

Se podría esperar que tomando el límite de $R\to \infty$ podría librarnos de este problema, desde el lado opuesto de la esfera serán muy lejos, y no debería aportar en el campo. Pero, ¿tenemos $Q$ o $\sigma$ constante?. Si hacemos la esfera más grande y más grande mientras que $\sigma$ se mantiene constante, entonces $Q$$\sigma R^2$, y así, mientras que el lado más alejado de la esfera se va alejando, su carga se hace más grande, de modo que el campo es constante (ya que va como $Q/r^2$). Claramente este no es el camino a seguir, ya que, obviamente, manteniendo $\sigma$ constante significa que $E=\sigma/\epsilon_0$ no va a cambiar.

Así que vamos a intentar mantener $Q$ constante y deje $R\to\infty$. Pero ahora $\sigma \sim Q/R^2$, lo $\sigma$ va a cero. El campo es cero en ambos lados de la esfera. En una manera, conseguimos el límite correcto, ya que el campo de una placa cargada con $\sigma=0$ es cero!

Usted no debe esperar a que estaba muy cerca de la esfera a ser indistinguible de un plato, ya que no se puede ignorar las contribuciones en el campo de lejos cargos! Usted sólo puede hacer que cuando el campo se convierte en infinito, que no es el caso aquí.