¿Para qué valores de$x$ convergen las series$\sum\limits_{n\geqslant 1}\sin(0.99\sin(0.99\dots\sin(0.99x)\dots))_{n-times}$?

Question

Para qué valores de$x$ hace la serie$$\sum\limits_{n\geqslant 1}\sin(0.99\sin(0.99\dots\sin(0.99x)\dots))_{n-times}$ $

convergen, divergen y convergen absolutamente.

Estoy atascado en cómo abordar este problema, ya que la prueba de relación clara no funcionará y no veo cómo podría usar la prueba de comparación. Claramente converge cuando$sinx=0$; Intenté encontrar la progresión de valores después de cada$\sin(0.99...$, pero parece algo aleatorio.

Answer 1

Debe converger absolutamente para todo x. Después de todo,$-1\le a_1=\sin(0.99x)\le1$, y luego$|a_{n+1}|=|\sin(0.99a_n)|<0.99|a_n|$, entonces$|a_{n+1}|<0.99^n$.