$AB - BA = I$ en espacio de Hilbert

Question

Dejado H sea un espacio de Hilbert y $A$ y $B$ ser operadores acotados en $H$. ¿Cómo puedo probar que $AB - BA = I$ no es posible? Probablemente esto es tan fácil como en el caso de matrices, pero no podía demostrarlo. ¿Usted me puede ayudar por favor?

Gracias :)

Answer 1

Una pregunta más general ha sido le pregunta y responde aquí antes. Los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert forman un Banach álgebra. Un hermoso argumento de H. Wielandt demuestra que la ecuación de $AB-BA = I$ no es posible en cualquier álgebra normalizada. No lo repito aquí, pero sigue por la inducción eso si $AB -BA = I,$ tenemos todos los enteros positivos $AB^{n}-B^{n}A = nB^{n-1}$ $n.$ esto implica que cada $2|A| |B | \geq n$ $n,$ una contradicción.