Uniformemente continuo en la variable compacta

Question

¿Qué es este teorema/donde puedo encontrar una prueba de la siguiente?

Deje $f: K \times X \to Y$ ser continua, con $K$ compacto. El uso de uniforme de la continuidad de las ideas, para $x \in X$ $\epsilon > 0$ existe $\delta = \delta_{x, \epsilon} > 0$ tal que $\|x - x'\| < \delta$ fuerzas de $\|f(t, x) - f(t, x') \| < \epsilon$ todos los $t \in K$. Es decir, podemos elegir el $\delta$ en una manera que es uniforme a lo largo de $K$ fijos $x \in X$$\epsilon > 0$. En otras palabras, $f$ es "uniformemente continua en el compacto variable."

Con esto, podemos concluir que para un mapa continuo $f: [a, b] \times X \to \mathbb{R}$, la función de $X \to \mathbb{R}$ definido por$$x \mapsto \int_a^b f(t, x)\,dt$$es continua.

Answer 1

Primero hemos de justificar la aplicación de las integrales. Para $f: [a, b] \times X \to \mathbb{R}$ un mapa continuo, la función de $f_x: [a, b] \to V$ $t \mapsto f(t, x)$ es continuo, de modo que la integral de la $I(x) = \int_a^b f_x = \int_a^b f(t, x)\,dt$ tiene sentido. Utilizando la estimación$$|I(x') - I(x)| \le \int_a^b |f(t, x) - f(t, x')|\,dt \le \epsilon(b-a)$$of $\|x' - x\| < \delta = \delta_{x, \epsilon}$ with $\delta$ as in the main part of the problem, we deduce the desired continuity of $I$.

Ahora volvemos a la construcción de $\delta_{x, \epsilon}$ continuo de los mapas de $f: K \times X \to Y$ $K$ compacto. Reparamos $x$$\epsilon$, y utilizamos $\|\cdot\|$ para denotar la norma que surja de las elecciones de interior de productos en el ambiente de espacios vectoriales que contienen cada uno de $K$, $X$, y $Y$. Para cada una de las $t \in K$, tenemos un poco de $\delta_t > 0$ tal que$$\max(\|t - t'\|, \|x - x'\|) < \delta_t \implies \|f(t, x) - f(t', x') \| < \epsilon.$$The opens $U_t = B_{\delta_t/2}(t)$ form an open covering of the compact $K$, so there is some finite sub covering $U_{t_1}, \dots, U_{t_n}$. Let $\delta = \min \delta_{t_j} > 0$. Now pick any $x \in X$ with $\|x - x'\| < \delta$, and we wish to prove$$\|f(t, x) - f(t, x') \| < \epsilon$$for all $t \in K$. Fix a choices of $t$, so $t \U_{t_j} = B_{\delta_j}(t_j)$ for some $j$. We have the estimate$$\|f(t, x) - f(t, x')\| \le \|f(t, x) - f(t_j, x)\| + \|f(t_j, x) - f(t, x')\|$$with the second term on the right at most $\epsilon$ since $\max(\|t_j - t\|, \|x - x'\|) < \max(\delta_{t_j}, \delta) \le \delta_{t_j}$. Meanwhile, we have$$\max(\|t - t_j\|, \|x - x\|) = \|t - t_j\| < \delta_{t_j},$$so $\|f(t, x) - f(t_j, x)\| \epsilon$. Putting everything together, when $\|x - x'\| < \delta$, we get$$\|f(t, x) - f(t, x')\| \le 2\epsilon$$for all $t \in K$. Esto completa la prueba.