Resolución de la serie infinita $1-\frac{2^3}{1!}+\frac{3^3}{2!}-\frac{4^3}{3!}+\cdots$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Evaluar la serie infinita: $$S=1-\frac{2^3}{1!}+\frac{3^3}{2!}-\frac{4^3}{3!}+\cdots$$ (a) $\displaystyle\frac1e$ (b) $\displaystyle\frac{-1}e$ (c) $\displaystyle\frac{2}e$ (d) $\displaystyle\frac{-2}e$

Ahora en el libro que ha dado una extraña explicación utilizando la $$(n+1)^3=[n(n-1)(n-2)+6n(n-1)+7n+1].$$ no entiendo, ¿cómo se consigue esto. Así que tengo dos dudas:

1. ¿Cómo conseguir este "truco"?
2. Si hubiera llegado a esta pregunta en un examen competitivo, ¿cómo se ha resuelto (en la mínima cantidad de tiempo), ya sea directamente o con métodos numéricos?

Answer 1

Desea evaluar $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(n+1)^3}{n!}$.

Ahora, la idea (en el último caso se puede ver que algunas $e$ como una respuesta posible) debe ser la relación con la conocida fórmula $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=e^x$$ En este caso en particular (dado el $(-1)^n$ incluido) es útil para conectar $x=-1$, y obtener un $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}=e^{-1}=\frac{1}{e}$$ Pero usted todavía tiene un $(n+1)^3$ en el numerador donde usted desea tener $1$.

Así que puede que desee dividir esto en varias partes, tales que conseguir uno (o varios) relacionados con las sumas.

Como ejemplo de esta técnica, si usted quiere saber $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!}$ usted puede intentar: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$$ Ahora, la segunda suma es sólo $e$ y la primera es (después de la cancelación) $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=e$$ y por lo que el total de la suma es $2e$. Se puede entender ahora el "truco" y abordar tu problema por ti mismo?

En cuanto a la segunda pregunta:

Si uno pasa a conocer este "truco", no es difícil obtener el resultado por sólo un par de cálculos por lo que sería mi opción preferencial.

Pero si te sientas en el examen y no tienen absolutamente ninguna idea de cómo resolver este algebraicamente (y especialmente si usted no tiene que dar una prueba de su resultado!) podría ser una buena idea para estimar la suma mediante el cálculo de un par de términos. Al menos el signo del resultado ($\pm$) debe ser accesible...

Answer 2

En general, si $p_i(x)$ es una secuencia de polinomios con $\deg p_i=i$, entonces es relativamente fácil probar que todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de un número finito de $p_i$. Cuando la $p_i$ son monic, usted puede hacer esto fácilmente. Deje $P(x)=a_kx^k + ... a_0$. A continuación, $P(x)-a_kp_k(x)$ es un polinomio de grado inferior. Encontrar el primer coeficiente de eso, y proceder inductivamente.

El estándar de la base de polinomios es $e_i(x)=x^i$.

Así que, en su caso;$p_i(n)=x(x-1)\cdots(x-(i-1))$$p_0(x)=1$. Elegimos este particular debido a $$\frac{p_i(n)}{n!} =\begin{cases}\frac{1}{(n-i)!} & n\geq i\\0&0\leq n<i\end{cases}$$ Así:$$\sum_{n=0}^\infty \frac{p_i(n)z^n}{n!} = z^ie^{z}$$

En su caso, $z=-1$.

Con estos polinomios, obtenemos: $$\begin{align}(n+1)^3 &= n^3+3n^2+3n+1\\ (n+1)^3-p_3(n) &= n^3 +3n^2+3n+1 - (n^3-3n^2+2n)\\& = 6n^2+n+1\\ (n+1)^3-p_3(n)-6p_2(n) &= 6n^2+n+1 - 6n(n-1)\\&= 7n+1\\ \end{align}$$

Así se obtiene: $$(n+1)^3=p_3(n) + 6p_2(n) + 7p_1(n) +p_0(n)$$

La clave es que el primer coeficiente de la cúbico $(n+1)^3$$1$, por lo que nos reste $1\cdot p_3(n)$. A continuación, el coeficiente inicial de los restantes cuadrática es $6$, por lo que nos reste $6p_2(n)$. El coeficiente inicial de los restantes lineal polinomial es $7$, por lo que nos reste $7p_1(x)$. Se queda con una constante.

La relación entre la base de los polinomios y la base de la $p_i(x)=x(x-1)\cdots(x-(i-1))$ es en realidad bastante interesante y viene una y otra vez. El $p_i(x)$ son a menudo llamado "la caída de factoriales."

Answer 3

Desde que tenemos:

ps

Simplemente obtenemos la descomposición inicial por inducción. Obviamente,$(n+1)^3 = \color{red}{1}\cdot n(n-1)(n-2)+\color{red}{6}\cdot n(n-1) +\color{red}{7}\cdot n+\color{red}{1}$ es un polinomio cuadrático en$$\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n (n+1)^3}{n!} &=& \frac{13}{2}+\sum_{n\geq 3}\frac{(-1)^n (n+1)^3}{n!}\\&=&\frac{13}{2}+\color{red}{1}\cdot\sum_{n\geq 3}\frac{(-1)^n}{(n-3)!}+\color{red}{6}\cdot\sum_{n\geq 3}\frac{(-1)^n}{(n-2)!}+\color{red}{7}\cdot\sum_{n\geq 3}\frac{(-1)^n}{(n-1)!}+\color{red}{1}\cdot\sum_{n\geq 3}\frac{(-1)^n}{n!}\\&=&\frac{13}{2}-\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{n!}+6\cdot\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n!}-7\cdot\sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n}{n!}+\sum_{n\geq 3}\frac{(-1)^n}{n!}\\&=&\sum_{n\geq 0}(-1+6-7+1)\frac{(-1)^n}{n!}\\&=&-\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{n!}=\color{red}{-\frac{1}{e}}.\end{eqnarray*}$, cuyo término principal es$(n+1)^3-n(n-1)(n-2)$. Así que restamos$n$ y nos queda un polinomio lineal, etc. Otra posibilidad es abordar nuestro problema de esta manera:$6n^2$ $

Answer 4

Mi manera de resolverlo:

Si los numeradores fueron todos los $1$, tendríamos la conocida serie de $e^{-1}$, obtenido a partir de toda la serie

$$e^{-x}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^k}{k!}.$$

Ahora queremos hacer numeradores $(k+1)^3$ aparecen. Multiplicar por $x$ y derivar, para obtener

$$(xe^{-x})'=\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{k+1}}{k!}\right)'=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(k+1)x^k}{k!}.$$

Repetir esto tres veces,

$$(x(x(xe^{-x})')')'=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(k+1)^3x^k}{k!}.$$

Luego de evaluar a $x=1$.

$$e^{-x}\to (1-x)e^{-x}\to (1-3x+x^2)e^{-x}\to (1-7x+6x^2-x^3)e^{-x}\to -\frac1e.$$

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Para tales problemas, que a menudo puede comenzar a partir de una serie de Taylor (en particular,$e^x$$1/(1-x)$) y realizar las siguientes operaciones

• multiplicar o dividir por una potencia de $x$ (turnos de los exponentes),
• derivar en $x$ (se multiplica por los exponentes),
• integrar en $x$ (divide por los exponentes),

para modificar los coeficientes.

Answer 5

Mirando la identidad dada: \begin{align} (n+1)^3 &= [n(n-1)(n-2)+6n(n-1)+7n+1] \\ &= n(n^2 - 3n + 2) + 6 n^2 + n + 1 \\ &= n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1 = (n+1)^3 \end {align}

Ahora, considere la diferenciación de la serie exponencial: \begin{align} D \, e^{t} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \, \frac{d}{dt} \, t^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \, t^{n-1}}{n!} \end {align} Se puede aplicar una mayor diferenciación.

Ahora, considere la serie en cuestión: \begin{align} S &= 1 - \frac{2^{3}}{1!} + \frac{3^{3}}{2!} - \cdots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, (n+1)^{3}}{n!} \\ &= \left. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, (n+1)^{3} \, t^{n}}{n!} \, \right|_{t=1} \\ &= \left. t^{3} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, n(n-1)(n-2) \, t^{n-3}}{n!} + 6 t^{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, n(n-1) \, t^{n-2}}{n!} + 7 t \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, n \, t^{n-1}}{n!} + e^{-t} \, \right|_{t=1} \\ &= \left. t^3 \, D^{3} e^{-t} + 6 \, t^{2} \, D^{2} e^{-t} + 7 \, t \, D e^{-t} + e^{-t} \right|_{t=1} \\ &= \left. (-t^3 + 6 \, t^2 - 7 \, t + 1) \, e^{-t} \right|_{t=1} \\ &= - \frac{1}{e} \end {align}