Identidad de los coeficientes binomiales

Question

Demostrar algebraicamente o no:

$$\sum \limits_{r=0}^n {2r \choose r} {2n-2r \choose n-r} = 4^n$$

donde ${n \choose r}$ denota el coeficiente binomial habitual. Creo que hay una prueba combinatoria usando argumentos de conteo de caminos, pero no he podido encontrarla.

Answer 1

Comience con

$$(1+kx)^\alpha=1+\sum\limits_{j=1}^\infty{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-j+1)\over j!}k^jx^j$$

Con $\alpha=-{1\over 2}$ y $k=-4$ el término general de la serie anterior es

$${2k\choose k}={(k+1)\cdots 2k\over k!}$$

$\sum \limits_{r=0}^n {2r \choose r} {2n-2r \choose n-r}$ es sólo el coeficiente de $x^n$ en la serie del producto Cauchy

$$\left(\sum\limits_{k=0}^\infty{2k\choose k}x^k\right)^2$$

Tenga en cuenta que

$$\sum_{k=0}^\infty{2k\choose k}x^k={1\over\sqrt{1-4x}}$$

Así que nuestra suma es el coeficiente de $x^n$ en la expansión en serie de

$${1\over 1-4x}=\sum\limits_{k=0}^\infty 4^kx^k$$

por lo que es $4^n$ según lo solicitado.