Adjunto derecho de functor de grupos de torsión a los grupos

Question

Para una asignación, debemos mostrar que la inclusión functor $H:\mathsf{\bf Tor}\to \mathsf{\bf Grp}$ tiene un derecho adjoint, donde $\mathsf{\bf Tor}$ es la categoría de todos los grupos de torsión, con el grupo homomorphism. El libro (Arbib) indica como una sugerencia para mirar a la intersección de todos los subgrupos que contiene todos los elementos de orden finito.

Mi pensamiento inicial fue que la pista que quiere decir que la intersección de los subgrupos era el candidato para la cofree objeto de cualquier $B\in \mathsf{\bf Grp}$. Sin embargo, en ningún momento estamos haciendo suposiciones acerca de los grupos de abelian, por lo que creo que es fácil colarse una torsión libre de elemento en esa intersección:

Sé que en el grupo de las matrices cuadradas es posible construir finito de orden de los elementos cuyo producto tiene orden infinito. Así que si mi inicial $B$ como es arriba es el grupo de matrices, cualquier subgrupo que contiene todos los elementos de orden finito tendrá, al menos, uno de orden infinito, así que la intersección nunca será un elemento de $\mathsf{\bf Tor}$ como se esperaba para el cofree objeto.

Entonces, esto me deja perplejo. ¿Qué es exactamente este objeto de $\mathsf{\bf Tor}$ que se supone debe ser el cofree objeto de un determinado $B\in\mathsf{\bf Grp}$? Y ¿cuál fue el punto de la sugerencia dada en el libro?

Answer 1

Tal vez me falta algo así, pero creo que tienes totalmente la razón. Si hubo un adjoint derecho ${\mathscr G}: \textbf{Grp}\to\textbf{Tor}$ % inserción ${\mathscr H}:\textbf{Tor}\to\textbf{Grp}$, entonces para cualquier grupo $B$ la imagen de la counidad morfismo $\eta: {\mathscr H}{\mathscr G}(B)\to B$ sería un subgrupo de torsión más grande de $B$, es decir, uno que contiene todos los otros subgrupos torsión de $B$; Esto es porque cualquier inclusión $B^{\prime}\hookrightarrow B$ $B^{\prime}$ torsión factores a través de $\eta$ por definición. Sin embargo, como se muestra en el ejemplo, hay, en general, no hay tal subgrupo de torsión más grande.

Answer 2

La inclusión functor de torsión de grupos a grupos no tienen derecho adjuntos. Esto implicaría que si $G$ es cualquier grupo de personas, $G$ tiene una torsión de subgrupo $G'$ de manera tal que cualquier homomorphism $T \to G$ a partir de una torsión de grupo $T$ $G$tierras en $G'$. Para ver esto, vamos a $R$ ser un supuesto derecho adjuntos. A continuación, $\text{Hom}(T, G) \cong \text{Hom}(T, R(G))$ natural; en particular,

$$\text{Hom}(R(G), G) \cong \text{Hom}(R(G), R(G))$$

y la imagen de $\text{id}_{R(G)}$ en el LHS es un distinguido mapa de $R(G) \to G$. Ya que cada mapa de $T \to R(G)$ factores a través de $\text{id}_{R(G)}$, se deduce que cada mapa de $T \to G$ factores a través de los distinguidos mapa de $R(G) \to G$, y podemos tomar $G'$ a ser la imagen de este mapa.

Como se observa, un grupo de $G'$ no puede existir en general. Por ejemplo, podemos tomar $G$ a ser un grupo como $\langle a, b \mid a^2 = b^2 = e \rangle$ que es generado por la torsión de los elementos, pero que tiene elementos que no son de torsión.

Así que el ejercicio como se dijo está mal. Tal vez el autor tenía sólo la abelian caso en la mente.