Estaba leyendo la Teoría de Líquidos Simples, cuando me topé con BBGKY jerarquía. En derivando la expresión de la jerarquía, que integran una integración de N variables a lo largo de N-n variables para realizar la correspondiente función de N variables de la misma función, pero con la reducción del número de variables n. Yo soy bastante incapaz de seguir el argumento, y después de pasar a través de muchos diferentes referencias con diferentes notaciones y de todos, yo me he jodido mi entendimiento. Será genial si alguien me puede decir exactamente lo que estamos haciendo en la derivación de BBGKY?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En realidad hay dos preguntas, una sobre la definición de las funciones de distribución y uno acerca de la derivación de la BBGKY jerarquía. Yo me referiré a ellos en turno.
Definiciones
Vamos a definir, por conveniencia, $\mathbf{r}^n = \mathbf{r}_1,\dots,\mathbf{r}_n$$\mathbf{r}^{(N-n)} = \mathbf{r}_{n+1},\dots,\mathbf{r}_N$.
A continuación, vamos a denotar el espacio de la fase de densidad de probabilidad $f^{[N]}(\mathbf{r}^N, \mathbf{p}^N; t)$. Esto significa que $f^{[N]}\mathrm{d}\mathbf{r}^N\mathrm{d}\mathbf{p}^N$ es la probabilidad de tener el sistema dentro de un pequeño volumen de $\mathrm{d}\mathbf{r}^N\mathrm{d}\mathbf{p}^N$ centrada alrededor del espacio de la fase de punto de $(\mathbf{r}^N, \mathbf{p}^N)$. En otras palabras, es la probabilidad de tener cada partícula $i$ en el volumen de $\mathrm{d}\mathbf{r}_i\mathrm{d}\mathbf{p}_i$ centrada en $(\mathbf{r}_i, \mathbf{p}_i)$.
Si hemos integrado más de $\mathbf{r}_1$$\mathbf{p}_1$, dicen, tendríamos una muy similar cantidad $f^{[N-1]}\mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-1)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-1)}$ para el resto de las partículas. Después de todo, todo lo que hicimos fue dejar de seguimiento de partículas $1$.
A la derecha, esta fue la primaria, así que vamos a mover a la reducción del espacio de la fase de función de distribución de $f^{(n)}(\mathbf{r}^n, \mathbf{p}^n; t)$. Ahora, $f^{(n)}$ no etiquetar las partículas de la misma manera como $f^{[N]}$. La motivación es, en cambio, que si vemos a $n$ de las partículas, que en realidad no importa si son las partículas $1, \dots, n$ o aquellas con las etiquetas de $N-n+1, \dots, N$ estamos suponiendo que todos ellos son idénticos. Entonces definimos $f^{(n)}\mathrm{d}\mathbf{r}^{n}\mathrm{d}\mathbf{p}^{n}$ a dar la probabilidad de tener $n$ de las partículas (de un total de $N$) en el espacio de la fase de volumen $\mathrm{d}\mathbf{r}^{n}\mathrm{d}\mathbf{p}^{n}$. En otras palabras, la probabilidad de tener una molécula (cualquier molécula) en cada una de las $n$ elementos de la fase de espacio- $\mathrm{d}\mathbf{r}_i\mathrm{d}\mathbf{p}_i$ centrada en $(\mathbf{r}_i, \mathbf{p}_i)$.
Por lo tanto, hay $N$ opciones para la molécula en $\mathbf{r}_1$, $N-1$ opciones para $\mathbf{r}_2$ a a $n$. Esto es para decir que $f^{(n)}(\mathbf{r}^n, \mathbf{p}^n; t) = N(N-1)\cdots(N-n+1)f^{[n]}(\mathbf{r}^n, \mathbf{p}^n; t)$, que podemos escribir en la forma más convencional $$f^{(n)}(\mathbf{r}^n, \mathbf{p}^n; t) = \frac{N!}{(N-n)!}\int\!\!\!\!\int f^{[N]}(\mathbf{r}^N, \mathbf{p}^N; t) \mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)}$$
BBGKY Jerarquía
BBGKY jerarquía, a continuación, sigue por la inspección de un sistema de $N$ idénticos partículas en un potencial con sólo 1 - y 2-cuerpo de las fuerzas (es decir, una fuerza externa y par potenciales: No angulars, dihedrals o cualquiera de los que aquí, estos son generalmente intramolecular en la naturaleza de todos modos). El equilibrio de la versión de la jerarquía es un poco más fácil para derivar (a partir de la diferenciación de más de una posición $f^{[N]} = \frac{e^{-\beta\mathcal{H}}}{Z}$ y, a continuación, la integración de más de una parte del espacio de la fase), pero aquí voy a escribir la versión más general comenzando con la ecuación de Liouville:
$$\left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \frac{\mathbf{p}_i}{m} \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^N \mathbf{X}_i \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right) f^{[N]} = -\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{ij} \cdot \frac{\partial f^{[N]}}{\partial \mathbf{p}_i}$$
donde $\mathbf{F}_{ij}$ es la fuerza entre las partículas de $i$ $j$ $\mathbf{X}_{i}$ la fuerza externa de las partículas $i$. La integración de más de las partículas $n+1, \dots N$, $$\int\!\!\!\!\int\left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \frac{\mathbf{p}_i}{m} \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^N \mathbf{X}_i \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right) f^{[N]}\mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)} = -\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \int\!\!\!\!\int \mathbf{F}_{ij} \cdot \frac{\partial f^{[N]}}{\partial \mathbf{p}_i} \mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)}$$
Todos los términos donde $i>n$ se desvanecen a medida que están más diferenciadas de las cantidades (la probabilidad de encontrar una partícula fuera de la caja o en el infinito de la velocidad tiene que ser cero; pensar en el teorema fundamental del cálculo), así
$$\left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\mathbf{p}_i}{m} \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^n \mathbf{X}_i \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right) f^{[n]} = -\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^N \int\!\!\!\!\int \mathbf{F}_{ij} \cdot \frac{\partial f^{[N]}}{\partial \mathbf{p}_i} \mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)}$$ Nota el interior de la suma en el lado derecho todavía va por encima de todas las $N$ de las partículas, por lo que hemos separado en su propio término y escribir
$$\left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\mathbf{p}_i}{m} \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^n \mathbf{X}_i \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right) f^{[n]} = -\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \int\!\!\!\!\int \mathbf{F}_{ij} \cdot \frac{\partial f^{[N]}}{\partial \mathbf{p}_i} \mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)} - \sum_{i=1}^n\sum_{j=n+1}^N \int\!\!\!\!\int \mathbf{F}_{ij} \cdot \frac{\partial f^{[N]}}{\partial \mathbf{p}_i} \mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)}$$
El par de fuerza plazo puede ser sacado de la izquierda integral (como $i, j$ no coinciden con la integración de las variables) y el resto del término puede ser reemplazado con un $f^{[n]}$. La suma de $j$ en el derecho integral, por otro lado, es en realidad $(N-n)$ términos de repetición debido a $f^{[N]}$ es simétrica con respecto a los intercambios de variables. Así tenemos
$$\left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\mathbf{p}_i}{m} \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{X}_i+\sum_{j=1}^n\mathbf{F}_{ij}\right) \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right) f^{[n]} = -(N-n)\sum_{i=1}^n \int\!\!\!\!\int \mathbf{F}_{i, n+1} \cdot \frac{\partial f^{[N]}}{\partial \mathbf{p}_i} \mathrm{d}\mathbf{r}^{(N-n)}\mathrm{d}\mathbf{p}^{(N-n)}$$
que, finalmente, puede ser escrito como (lo siento por el largo de la derivación, pero no estoy seguro de si se puede encontrar en mucho detalle en otro lugar, espero que esto ayude a),
$$\left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\mathbf{p}_i}{m} \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^n \left(\mathbf{X}_i+\sum_{j=1}^n\mathbf{F}_{ij}\right) \cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right) f^{[n]} = -(N-n)\sum_{i=1}^n \int\!\!\!\!\int \mathbf{F}_{i, n+1} \cdot \frac{\partial f^{[n+1]}}{\partial \mathbf{p}_i} \mathrm{d}\mathbf{r}_{n+1}\mathrm{d}\mathbf{p}_{n+1}$$
Ahora podemos escribir $f^{(n)}$ en lugar de $f^{[n]}$ (y deshacerse de la fea factor de $(N-n)$), como se hace a menudo, pero esto no es necesario.
P. S.
Usted ha mencionado la Teoría de Líquidos Simples, que es un clásico moderno y un buen libro, especialmente para los de referencia. Yo, personalmente, sin embargo, a menudo encuentran que la Colina de trabajo es más accesible (sus artículos de investigación, o en este caso el libro de la Mecánica Estadística; disponible a través de Dover es decir, la suciedad barato), aunque hay que decir que la notación que se utiliza es un poco antiguo y de manera algo torpe.
