Resolución de una ecuación diferencial de segundo orden acoplada, para una trayectoria de partículas.

Question

Se me encargó encontrar el camino que sigue una partícula a través de esta función potencial.

$$U(x)=x^2+xy+y^2$$

Luego tomé el gradiente, y esto produjo un par de ecuaciones diferenciales.

$$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{1}{m}(-2x-y)$$

$$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{m}(-2y-x)$$

Todavía no me he encontrado con ningún problema de este tipo. Parece sencillo, pero ha demostrado ser muy difícil de resolver. He probado un par de técnicas de sustitución que al principio parecían prometedoras, pero que inevitablemente han fracasado. Incluso utilicé las transformadas de Laplace, pero se complicó mucho y al final desistí.

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Establecer $u=x+y$ , $v=x-y$ entonces \begin{align} \frac{d^2u}{dt^2}&=-\frac{3u}m\\ \frac{d^2v}{dt^2}&=-\frac{v}m \end{align} son ecuaciones escalares de fácil solución. En general hay que desacoplar el sistema $m\ddot q=-Aq$ mediante la descomposición propia de la matriz del sistema $A$ .