¿Cómo encontrar una representación de serie de energía para un producto divergente?

Question

Euler utiliza la identidad $$ \frac{ \sin(x) }{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2 } \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{(2n + 1)! } x^{2n} $$ to solve the Basel problem. The product is obtained by noting that the sine function is 'just' an infinite polynomial, which can be rewritten as the product of its zeroes. The sum is found by writing down the taylor series expansion of the sine function and dividing by $x$.

Ahora, estoy interesado en encontrar la suma de la representación de los siguientes productos: $$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x}{n \pi} \right) ,$$, que es divergente (ver este artículo).

La infinita suma la representación de este producto no es tan fácil de encontrar (al menos no por mí) porque no tiene una obvia representación formal como $\frac{\sin(x)}{x}$ por encima.

Preguntas: ¿qué es el infinito de la suma de la representación de el segundo producto que he mencionado? ¿Cómo se obtiene esta suma? Y es allí cualquier 'formal' represenation de estas fórmulas (como $\frac{\sin(x)}{x}$ anterior).

Answer 1

No estoy seguro si hay un preciso sentido en que esto es significativo, ya que el producto es divergente para todos $x\neq 0$, pero el $$ de la función f (x): = \frac{1}{\Gamma\left(1-\frac{x}{\pi}\right)} $$ tiene ceros simples en precisamente los múltiplos positivos de $\pi$ y satisface a $f(0)=1$. La fórmula de reflexión $\Gamma$ muestra que f(x)f(-x)=\frac{\sin(x) $$} {x} = \prod_ {n = 1} ^ \infty \left(1-\frac{x}{n\pi}\right)\left(1+\frac{x}{n\pi}\right). $$

Answer 2

Su serie es fácilmente visto como divergentes (si tiende a cero me llaman divergentes así), y es de hecho uno desagradable ya que no es simplemente sumable, ver la serie armónica.

sin embargo también divergentes producto se puede formular como un divergentes de la serie, pero otra vez esto es complicado y no tengo respuesta rápida.

Una respuesta general para encontrar la potencia de la serie de un producto es la siguiente. También funciona si usted desea encontrar una potencia de serie de la función gamma en número entero de puntos de k ya ha pasado su kth punto de que sólo tendrá cero. (los números de stirling ) Estos también es perfectamente methode para la extrapolación de la función gamma para no entero puntos, pero siempre va a tener un error.

$$\prod_{i=b}^c 1+a_i$$= $$1+\sum_{i=b}^{c} (a_i)+$$ $$1/2!((\sum_{i=b}^c (a_i))^2-\sum_{i=b}^c (a_i)^2$$ $$1/3!((\sum_{i=b}^c (a_i))^3-3\sum_{i=b}^c (a_i)^2\sum_{i=b}^c (a_i)+2\sum_{i=b}^c (a_i)^3)$$ $$1/4!((\sum_{i=b}^c (a_i))^4-6(\sum_{i=b}^c (a_i))^2\sum_{i=b}^c (a_i)^2+3(\sum_{i=b}^c (a_i)^2)^2+8(\sum_{i=b}^c (a_i)^3)\sum_{i=b}^c (a_i)-6\sum_{i=b}^c (a_i)^4)$$

Estos son los refinados strirling números, pero supongo que se obtiene el patrón, yo no dominar las habilidades aún no escriba más eficiente hacia abajo.