Análisis: el número de cambios de signo de una función integrable

Question

Dejemos que $a,b \in \mathbb{R}$ con $a < b$ y que $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua que no es idéntica a 0. Supongamos que para algún $n \in \mathbb{N}$ que para todos $k \in \{0, ..., n\}$ que

$$\int_a^b t^kf(t)dt = 0$$

Queremos demostrar que hay $n+1$ puntos donde $f$ cambia de signo.

Así que mi primera inclinación para este problema es que el enunciado sugiere fuertemente la inducción sobre $n$ . Como tal lo que quiero mostrar es que si $\int_a^b f(t)dt = 0$ y $\int_a^b tf(t)dt = 0$ entonces $f$ cambia de signo al menos dos veces, preferiblemente de forma que se preste a ser imitado en el caso general. Así que observé que ya sabemos que cambia de signo al menos una vez - como $f$ no es idéntico a cero no podía ser de otra manera que $\int_a^b f(t)dt = 0$ . Así que entonces pensé en suponer para la contradicción que $f$ cambia de signo exactamente una vez. A partir de aquí no estoy seguro de dónde ir.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\int_a^b t^k f(t) dt = 0$$

para todos $k =0, 1, \cdots, n$ es lo mismo que decir que

$$(*) \int_a^bP(t) f(t) dt =0$$

para todos los polinomios de grado inferior o igual a $n$ .

Supongamos que $f$ sólo cambiar de signo en $x_1< \cdots <x_m$ , donde $x_j \in (a, b)$ y $m \leq n$ . Entonces, defina

$$P(t) = (t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_m)$$

Tenga en cuenta que

$$\int_a^b P(t) f(t)dt = \int_a^{x_1} P(t) f(t) dt+ \int_{x_1}^{x_2} P(t) f(t) dt +\cdots + \int_{x_m}^b P(t) f(t) dt$$

Tenga en cuenta que si $P(t) f(t)$ es positivo/negativo en $(a, x_1)$ si y sólo si es positivo/negativo en $(x_1, x_2) \cdots (x_m, b)$ .

Por tanto, la integral debe ser estrictamente positiva o negativa. Esto contradice a (*).