Pregunta básica sobre codificación ZFC en PA

Question

1) Se ZFC y PA aritmética mutuamente interpretable si ampliamos PA a PA+a , donde a es el conjunto de fórmulas de PA que el resultado de la traducción de los axiomas de ZFC (o cualquier gran cardenal axiomas de la extensión de la misma)?

Suponiendo que la respuesta es sí:

2) no es claro para mí si las fórmulas de ZFC, que en el idioma $L_{\in}$ puede ser escrito en $\Pi^0_n$ o $\Sigma^0_n$ formato, también se traducen al $\Pi^0_n$ o $\Sigma^0_n$ fórmulas de PA, o si necesitamos usar de orden superior a las fórmulas de la PA (quiero decir, si es de primer orden PA no es suficiente).

3) En tal caso, son los de orden superior fórmulas ($\Pi^m_n$ o $\Sigma^m_n$,$m,n \in Z $) de PA lo suficiente, o todavía hay fórmulas de ZFC (por ejemplo, algunos de los grandes cadinal axiomas) que no puede ser traducido (codificado?) en cualquier $\Pi^m_n$ o $\Sigma^m_n$ fórmula de PA? Bueno, si tal fuera el caso, entonces, supongo que ZFC+Grandes Cardenales y PA+A no ser mutuamente interpretables.

Answer 1

Si he entendido bien, la respuesta es no.

Cuando se trata de interpretaciones, de hecho, hay un buen espectro de ligeramente diferentes nociones. Lo que parece ser el estándar moderno de referencia es:

Albert Visser. Categorías de teorías e interpretaciones. En la Lógica, en Teherán, 284-341, Lect. Registro De Notes., 26, Assoc. Símbolo. La lógica, La Jolla, CA, 2006. MR2262326 (2007j:03083).

En cualquier caso, a menos que usted desea una interpretación de una teoría de la $T$ en una teoría de la $S$ a satisfacer que hay una más o menos explícita, "procedimiento", que asigna a cada modelo de $S$ un modelo de $T$. Sin embargo, esto se ha formalizado, $\mathsf{ZFC}$ debería ser más que suficiente para llevar a cabo esta tarea.

De ello se desprende que, desde el $\mathsf{ZFC}$ demuestra la consistencia de $\mathsf{PA}+A$, entonces éste no puede interpretar $\mathsf{ZFC}$: de lo Contrario, $\mathsf{ZFC}$ demostrar su propia consistencia, contra el teorema de la incompletitud. El argumento no cambia incluso si dejas $A$ consta de todos los de orden superior fórmulas como usted sugiere en el punto 3.

Por otro lado, (suponiendo la consistencia de $\mathsf{ZFC}$) si permite la inclusión en $A$ de la aritmética consecuencias de gran cardenal supuestos, $\mathsf{ZFC}$ no puede interpretar $\mathsf{PA}+A$: de lo Contrario, a partir de cualquier modelo de $\mathsf{ZFC}$ nos permitiría obtener un modelo de $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC+\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})})$. A partir de esto, obtenemos $\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC+\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})})$ en el modelo de $\mathsf{ZFC}$, ya que este es un $\Pi^0_1$ declaración. Pero esto significa que la teoría de la $\mathsf{ZFC}+\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$ demuestra su consistencia propia, contra el teorema de la incompletitud.