Conjunto de finalización de números enteros

Question

$(\mathbb{Z}, \rho)$ es un espacio métrico con la métrica:$\rho(m, n) = |e^{in} - e^{im}|,\ i^2 = -1,\ m, n \in \mathbb{Z}$
Entonces necesito construir un conjunto completo de enteros. ¿Cómo puedo hacer esto?

Mis pensamientos:
$f(n) = e^{in}$ función monótonamente aumentada, por lo tanto, para$\rho$ se cumplen las condiciones de la métrica. Entonces, si pudiera construir la función$f: X \to Y$ (donde$Y$ se establece con intervalo fijo o semiintervalo) entonces quizás podría definir una métrica en$Y$ (permita que se llame$d$) y construye un isomorfismo entre$(X, \rho)$ y$(Y, d).$

Answer 1

Una manera de determinar la finalización de un espacio es la correcta conjetura acerca de lo que la terminación es. Aunque tal vez supongo que el no necesita ser tan salvaje, tal vez hay una pista.

Para este problema, usted puede obtener una idea de por mirar la fórmula $$\rho(m,n) = |e^{en} - e^{im}| $$ Romper esta fórmula en partes: definir una función $$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{C} $$ por la fórmula $$f(n) = e^{en} $$ Indicar el habitual métrica Euclidiana en $\mathbb{C}$ $$d(w,z) = |w-z| $$ La fórmula para $\rho$ puede entonces escribirse como $$\rho(m,n) = d(f(n),f(m)) $$ Además, $f$ es un uno-a-uno de la función, debido a que $2\pi$ es irracional: si $f(m)=f(n)$ $e^{in}=e^{im}$ $e^{i(n-m)}=1$ $n-m$ es un múltiplo de a $2 \pi$, lo $n=m$.

De ello se desprende que $f$ es una isometría de $Z$ a su imagen $f(Z) \in \mathbb{C}$.

Ahora hay un teorema general: para completar cualquier espacio métrico $M$ y cualquier subconjunto $A \subset M$ dotado con la restringida métrica, la realización de $A$ es el cierre de $A$. Y la métrica Euclidiana en el avión $\mathbb{C}$ es un espacio métrico completo.

Así, la finalización de $Z$ en la métrica de $\rho$ es isométrico para el cierre de $f(Z)$$\mathbb{C}$.

Se puede determinar el cierre de $f(Z)$$\mathbb{C}$?