¿Notación para el patrón de tipo factorial con un paso de saltar de dos en vez de uno?

Question

Me topé con un patrón peculiar al solucionar a hoy en día una relación de recurrencia:

Algunos $a_n$ de la secuencia se ve como tal:

$a_0 = 1$

$a_2 = \frac{1}{2 \cdot 1}$

$a_4 = \frac{1}{4 \cdot 2 \cdot 1}$

$a_6 = \frac{1}{6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1}$

...

El patrón es bastante simple, pero no puedo pensar en una forma de expresar la ecuación general para $a_n$

EDITAR:

La relación de recurrencia es

$a_{n+2} = \frac{1}{n+2} \cdot a_n$

por lo que serían denominadores los índices impares 1, 3, 5 3, 7 5 * 3, etcetera.

¿Cualquier punteros?

Answer 1

Como se mencionó, un uso levemente no estándar de doble factorial da $$ a_n = \frac {1} {n}!! $$ incluso $n$. Sin embargo, generalmente veo doble factorial utilizado con impar $n$. Incluso $n$, $$ a_n=\frac{1}{2^{n/2}(n/2)!} $$ funciona así.

Extraño $n$, sin doble factorial, $$ a_n=\frac{2^{(n-1)/2}(\frac{n-1}{2})!} {n}! $$ así que es fácil ver por qué es recomendado: $1/n!!$.

Answer 2

Está escrito$n!!$ y denotado como factorial doble .