Te voy a mostrar que si $F$ es un grupo libre de rango, al menos, de tres, de $\mathbb{Z}F$ tiene un finitely generado no Hopfian módulo. (Así que esto no es una respuesta a la pregunta, pero parece relevante y es demasiado largo para un comentario.)
Supongamos $R$ es cualquier anillo con un finitely generado no Hopfian a la derecha del módulo de $M$.
A continuación, el anillo de $M_2(R)$ $2\times2$ matrices de más de $R$ es otro ejemplo, porque es Morita equivalente a $R$ (o, más explícitamente, la $M_2(R)$-módulo de $(M\text{ }M)$ de los vectores fila con las entradas de $M$ es un finitely generado no Hopfian $M_2(R)$-módulo).
También se $M_2(R)$ es generado como un anillo de unidades: Si $X=\{x_i\vert i\in I\}$ es un grupo electrógeno $R$ en el sentido fuerte que incluso no hay una adecuada nonunital sub-anillo de $R$ contiene $X$, entonces es fácil comprobar que
$$Y=\left\{\pmatrix{x_i&1\\1&0}\middle\vert i\in I\right\}\cup\left\{\pmatrix{0&1\\1&0}\right\}$$
es un grupo electrógeno $M_2(R)$ consistente de unidades.
Así que si $F$ es el grupo en el set $Y$, existe un natural surjective anillo homomorphism $\mathbb{Z}F\to M_2(R)$, y así podemos considerar $(M\text{ }M)$ como finitely generado no Hopfian derecho $\mathbb{Z}F$-módulo.
Si tomamos $R$ a ser el anillo
$$R=\mathbb{Z}\left\langle x,y\middle\vert xy=1\right\rangle,$$
a continuación, los mapas dada por la izquierda de la multiplicación por $y$ $x$ exhibición de la libre de derecho módulo de $R$ como un sumando directo de sí mismo, y por lo $R$ es un no-Hopfian módulo por sí mismo. Desde $R$ es generado por dos elementos, $M_2(R)$ es generado por tres unidades, por lo que es un cociente de $\mathbb{Z}F$ $F$ libre de rango tres.
