Ecuación diofántica

Question

Problema: Demostrar que para cualquier entero positivo $a$, la ecuación de Diophantine $$x^3+x+a^2=y^2$$ has at least one solution $(x, y)$, where $x,$ y son enteros positivos.

Fuente: Mi maestro.

Intento: Primero probé $a=1$ y encuentra la solución mínima $(x, y)=(72, 611)$, no un amistoso.

Ahora reescribir la ecuación como $$x(x^2+1)=(y-a)(y+a).$$ We hope that $x=b_{1}b_{2}, x^2+1=c_{1}c_{2}$ and $b_{2}c_{2}-b_{1}c_{1}=2a$. Pero, ¿cómo determinar estos números? Me quedé atrapado aquí. Una manera prometedora es la de relacionarse con una Pell-tipo de ecuación.

Otro pensamiento es establecer $x$ a de ser algún polinomio como $2t^2$, de modo que el lado izquierdo puede ser factorizados por otra parte. Todavía poco progreso.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Su primera idea es una gran idea! Cuando se trabaja en esto, yo tenía ligeramente diferentes variables, pero es equivalente a su partida.

Supongamos enteros positivos $b, c, d, e$ satisfacer $y+a=bc$, $y-a=de$, $x=bd$, $x^2+1=ce$, $bc-de=2a$, $ce-(bd)^2 = 1$.

Propongo el siguiente lema:

La secuencia de $k_n$ se define de la siguiente manera: $k \in \mathbb{N}$, $k_0 = 0$, $k_1=1$, $k_{n+2} = kk_{n+1} + k_{n}$ fro $n \geq 0$. A continuación,$k_{n-1} k_{n+1} - k_{n}^2 = (-1)^{n} \quad \forall n \geq 1$.

Prueba:

Para $n=1$, esto es cierto. Ahora, supongamos cierto para $n$. A continuación, para $n+1$,

$$\begin{aligned} k_{n} k_{n+2} - k_{n+1}^2 &= k_{n} (kk_{n+1} + k_{n}) - k_{n+1}^2\\ &= -k_{n+1} (k_{n+1} - kk_{n}) + k{n}^2\\ &= -(k_{n-1} k_{n+1} - k_{n}^2)\\ &= -(-1)^k\\ &= (-1)^{k+1} \end{aligned}$$

Por lo tanto, demostrado.

Ahora, si nos vamos a $c=k_3 = k^2+1$, $e=k_5=k^4+3k^2+1$, $bd=k_4 = k(k^2+2)$, a continuación, desde el lema anterior, tenemos $ce-(bd)^2=1$. Dejando $d=2a, k=4a^2$, obtenemos $b=2a(k^2+2)$$bc-de=2a(k^2+2)(k^2+1)-2a(k^4+3k^2+1) = 2a$. Por lo tanto, tenemos el resultado

$$x=bd=4a^2(16a^4+2)$$ $$y=2a(16a^4+2)(16a^4+1)-a$$

como una construcción de todos los $a$, y satisface la solución proporcionada por $a=1$.