Encontrar todas las $n$ tal que $x+y$ es un poder de $2$ cuando $xy=n$.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. $n$ se llama golden entero si $n$ es compuesto, y si escribimos $n$ $n=xy$ donde $x$ $y$ enteros positivos, entonces $x+y$ es una potencia de dos ($x+y=2^{r}$). Encontrar todos los de oro enteros.

Es obvio, por definición, y el hecho de que $n=1\times n$ que no es un número entero $a$, de tal manera que $n=2^{a}-1$. $n$ está compuesto, por lo tanto, hay dos enteros, decir $x$$y$, de tal manera que $1<x\leq y<n$$n=xy$. Por lo tanto tenemos el siguiente sistema, $$x+y=2^{b}$$ $$xy=2^{a}-1$$ En consecuencia, $$(x+1)(y+1)=2^{b}(2^{a-b}+1)$$ $$(x-1)(y-1)=2^{b}(2^{a-b}-1)$$ ¿Alguien sabe cómo continuar esta solución?

Answer 1

Si $n$ de oro es un número y $n=xy$ es una descomposición con $x,y>1$, luego $$x+y=2^b\qquad\text{ and }\qquad xy=2^a-1,$$ para enteros positivos $a$$b$. Tenga en cuenta que $b<a$ porque $$2^b=x+y<xy=2^a-1.$$

Supongamos $a$ es primo, decir $a=p$. A continuación, $x$ $y$ brecha $2^p-1$ y por lo tanto${}^1$ $x\equiv y\equiv1\pmod{p}$. Entonces, debido a $b<a=p$ y $$2^b=x+y\equiv2\pmod{p},$$ vemos que $b-1$ estrictamente divide $p-1$, lo $2(b-1)\leq p-1$. Pero también $$2^p-1=xy=x(2^b-x)\leq 2^{2b-2},$$ lo que muestra que $p\leq 2b-2$. Esto significa $2b-2\leq p-1<p\leq 2b-2$, una contradicción.

Por lo tanto $a$ es compuesto, decir $a=uv$$u,v>1$. Entonces $$n=2^a-1=(2^u-1)\sum_{k=0}^{v-1}2^{ku},$$ y debido a que $n$ es de oro tenemos $$(2^u-1)+\sum_{k=0}^{v-1}2^{ku}=2^c,$$ para algunos entero $c$. Esto implica $v=2$, y por la simetría también se $u=2$$n=15$.

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1. Tenga en cuenta que $2^m-1$ $2^n-1$ son coprime si y sólo si $m$ $n$ son coprime. Así que si $q$ es un primer dividiendo $2^p-1$, para todos los $m<p$ el primer $q$ no divide $2^m-1$. Así modulo $q$ el número de $2$ orden $p$, lo que implica que $p\mid q-1$$q\equiv1\pmod{p}$. De ello se sigue que todos los divisores de a $2^p-1$ son congruentes a $1$ modulo $p$.