Supongamos que hay tres vectores $\sin x, \cos x, \tan x$. Ahora estoy bastante seguro de que estos yacen en el mismo plano. ¿Pero puedo encontrar algún coeficiente constante que satisfaga $c_1\sin x + c_2\cos x + c_3\tan x = 0$? No pude. Ahora por favor rectifícame si hay alguna forma de demostrar que son linealmente dependientes. O explícame si no son linealmente dependientes cómo están yaciendo en el mismo plano (plano $xy$).
¿Qué pasaría si preguntara $sinx\hat{i}$, $cosx\hat{i}$ y $tanx\hat{i}$ están en el mismo plano o no? Ahora son campos vectoriales de hecho.
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El comentario que publicaste en mi respuesta plantea una pregunta interesante! Todas las respuestas interpretaron tu pregunta como ¿son linealmente independientes los tres mapas reales $\sin, \cos$ y $\tan$?. Estrictamente hablando, no es la pregunta que hiciste. Pero entonces ¡tengo una pregunta para ti! ¿En qué espacio vectorial estás ubicando los tres vectores $\sin x$, $\cos x$ y $\tan x$? Estoy convencido de que obtendrás buen conocimiento respondiendo esa pregunta.
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Estas son funciones de trascendencia y son linealmente independientes también en cualquier intervalo [a, b].
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@mathcounterexamples.net parece que tienes que darme un enlace para que yo pueda saber qué es un espacio vectorial y sus propiedades. ¿Y cómo esto me impide mapear estas funciones?
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Wikipedia es un buen comienzo. Cuando hablas de vectores, esos vectores pertenecen a un espacio vectorial. El hecho de que sean linealmente independientes depende de cómo los observes. Y en particular, a qué espacio vectorial pertenecen.
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Si quieres pensar en las funciones como vectores, necesitas entender que son vectores en un espacio de dimensiones infinitas. Considerados como vectores en dicho espacio, esos tres vectores son de hecho no coplanares. Pero hay ciertos espacios muy importantes en los cuales los vectores $\sin x, \cos x,$ y $e^x$ son coplanares.
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Lo mismo que para los polinomios (no las funciones polinomiales): $1, X, X^2, \ldots$ son independientes. La función $\sin$ y la imagen de $x$ ($\sin x$) no son iguales. Cada función diferenciable $f$ podría ser graficada en el plano, ¿significa eso que todas las funciones son dependientes?
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¿Por qué estás bastante seguro de que $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ se encuentran en el mismo plano?
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Nota para el preguntador: En los sitios web de StackExchange, generalmente no es una buena idea aceptar una respuesta dentro de minutos de haber sido publicada. Especialmente en este caso donde claramente hay mucha confusión en torno a la pregunta: sospecho que la respuesta de mathcounterexamples.net no está respondiendo realmente la pregunta que pretendías hacer.