3 votos

Tres vectores son coplanares entonces son linealmente dependientes. ¿Es cierto para la parte inferior?

Supongamos que hay tres vectores $\sin x, \cos x, \tan x$. Ahora estoy bastante seguro de que estos yacen en el mismo plano. ¿Pero puedo encontrar algún coeficiente constante que satisfaga $c_1\sin x + c_2\cos x + c_3\tan x = 0$? No pude. Ahora por favor rectifícame si hay alguna forma de demostrar que son linealmente dependientes. O explícame si no son linealmente dependientes cómo están yaciendo en el mismo plano (plano $xy$).

6 votos

El comentario que publicaste en mi respuesta plantea una pregunta interesante! Todas las respuestas interpretaron tu pregunta como ¿son linealmente independientes los tres mapas reales $\sin, \cos$ y $\tan$?. Estrictamente hablando, no es la pregunta que hiciste. Pero entonces ¡tengo una pregunta para ti! ¿En qué espacio vectorial estás ubicando los tres vectores $\sin x$, $\cos x$ y $\tan x$? Estoy convencido de que obtendrás buen conocimiento respondiendo esa pregunta.

0 votos

Estas son funciones de trascendencia y son linealmente independientes también en cualquier intervalo [a, b].

0 votos

@mathcounterexamples.net parece que tienes que darme un enlace para que yo pueda saber qué es un espacio vectorial y sus propiedades. ¿Y cómo esto me impide mapear estas funciones?

14voto

Martigan Puntos 3322

¡Cuidado: fuerte confusión entre vectores y funciones!

Tres vectores coplanares en $\mathbb{R}^3$ no son linealmente independientes...

Pero el ejemplo que estás dando no son tres vectores, son tres funciones... Esto es completamente diferente.

Y en ese caso, las tres funciones son claramente independientes entre sí, pero estas funciones no son elementos de $\mathbb{R}^3$

EDITAR: nota al margen: están representados en el plano $xy$, esto no significa que sean elementos de este plano...

1 votos

¿Qué pasaría si preguntara $sinx\hat{i}$, $cosx\hat{i}$ y $tanx\hat{i}$ están en el mismo plano o no? Ahora son campos vectoriales de hecho.

0 votos

@user187604 Si tomas los tres vectores $(x_0, \sin x_0), (x_0, \cos x_0), (x_0, \tan x_0)$, entonces son linealmente dependientes... Pero tomas los vectores individuales dados por el punto de entrada inicial y la imagen de cada función... No el gráfico de cada función...

2 votos

Esto debería ser una respuesta aceptada. Esta es la causa principal. OP intenta aplicar una ley para vectores a funciones de vector y obtiene resultados "incorrectos".

2voto

Cfr Puntos 2525

Esas 3 funciones son linealmente independientes. Al sustituir $x=0$, obtenemos que $c_2=0$. Ahora, a medida que $x \to \pi/2$, $\sin$ está acotada mientras que $\tan$ no lo está, por lo tanto $c_3=0$. Finalmente, esto impone que $c_1=0$ ya que $\sin$ no siempre se anula.

1 votos

Aparte de esto, quiero saber cómo es cierta la afirmación de que ''tres vectores son linealmente independientes si no son coplanares''. Creo que todas las funciones yacen en el mismo plano.

0 votos

@user187604 porque estás mezclando un vector con una función cuyos valores son vectores. Para cualquier x dado (excepto aquellos donde tan no existe) los 3 vectores producidos son linealmente dependientes. Pero los factores cambiarán con el cambio de x.

1 votos

@user187604 "Creo que todas las funciones están en el mismo plano." Bueno, no lo están.

2voto

dmay Puntos 415

No existen tales constantes (a menos que todas sean $0$; por supuesto). De hecho,$$x=0\implies c_1\sin(x)+c_2\cos(x)+c_3\tan(x)=c_2$$y por lo tanto $c_2=0$. Por otro lado$$x=\frac\pi2\implies c_1\sin(x)+c_3\tan(x)=\frac{c_1}{\sqrt2}+c_3=0$$y por lo tanto $c_3=-\frac{c_1}{\sqrt2}$. Finalmente, veamos qué ocurre cuando $x=\frac\pi6$, para deducir que $c_1=c_3=0$.

1 votos

Apart from this I wanna know that how is the statement that '' three vectors are linearly independant if they are non coplanar'' true. I think all of the functions are lying on the same plane.

0 votos

Su pregunta es sobre Álgebra Lineal. ¿Con qué espacio vectorial estás trabajando?

0 votos

Bueno, no sé las etiquetas perfectas. Siéntete libre de volver a etiquetarlo.

2voto

Fred Puntos 690

Supongamos que $c_1 \sin x + c_2 \cos x + c_3 \tan x =0$ para todo $x \in (- \pi/2, \pi/2)$.

Con $x=0$ obtenemos $c_2=0$. Por lo tanto, $ \sin x (c_1+\frac{c_3}{\cos x})=0$ para todo $x \in (- \pi/2, \pi/2).$.

Si $x \ne 0$ derivamos $c_1+\frac{c_3}{\cos x}=0$.

Es tu turno de mostrar que $c_1=c_3=0$.

1 votos

Además de esto, quiero saber cómo es cierta la afirmación de que ''tres vectores son linealmente independientes si no son coplanares''. Creo que todas las funciones están en el mismo plano.

1voto

Mostafa Ayaz Puntos 1124

Deja que $x$ tienda a $\frac{\pi}{2}$ desde abajo. Entonces $\tan x$ crece hasta $\infty$ mientras que $\sin x$ y $\cos x$ son ambos acotados. Esto lleva a $c_3=0$. También deja que $x=0$ y $x=\dfrac{\pi}{2}$ lo cual conlleva a $c_2=0$ y $c_1=0$ respectivamente argumentando que estas tres funciones son linealmente independientes.

1 votos

Aparte de esto, quiero saber cómo es cierto que "tres vectores son linealmente independientes si no son coplanares". Creo que todas las funciones están en el mismo plano.

0 votos

Bueno! Esta es una definición virtual, por ejemplo puedes considerar $\sin x=(1,0,0)\\\cos x=(0,1,0)\\\tan x=(0,0,1)$ sobre el espacio de funciones $\{f(x)|f(x)=c_1\sin x+c_2\cos x+c_3\tan x,c_1,c_2,c_3\in\Bbb R\}$

0 votos

Incluso en el $\Bbb R^2$ la dimensión puede ser $\infty$. Consideremos el espacio de funciones analíticas. Cada función analítica puede expresarse como la suma de $x^n$ multiplicados por un factor real llamado coeficientes de la serie de Taylor. Dado que tenemos infinitos coeficientes, tendríamos dimensión infinita (esto se debe a que los coeficientes de la serie de Taylor son únicos).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X