Encuentra$\int_{|z|=5} \frac{zf'(z)}{f(z)}dz$ cuando$24\le |f'''(z)|\le 30$,$f(0)=f(1)=f(2)=3$

Question

Permita que$f$ sea una función completa tal que$24\le |f'''(z)|\le 30$,$f(0)=f(1)=f(2)=3$. Quiero encontrar$$\int_{|z|=5} \frac{zf'(z)}{f(z)}dz.$ $

Mi intento: como$f$ es entero,$f'''$ también es completo. $f'''$ también está limitado. Por lo tanto, según el teorema de Liouville,$f'''$ es constante y$f$ es una función cúbica. Como$f(0)=f(1)=f(2)=3$,$f(z)=az(z-1)(z-2)+3$ y$4\le|a|\le 5$.

Para usar el teorema del residuo, debemos saber los ceros de$f(z)=0$, pero no sé cómo encontrarlos. ¿A dónde es la forma en que debo ir?

Answer 1

Deje $f$ ser una buena función, y $C$ un buen contorno (simple, orientado positivamente al menos). Considere la posibilidad de $$I=\int_C \frac{zf'(z)}{f(z)}\,dz.$$ Como $f$ es agradable, $f$ no tiene ningún ceros repetidos dentro de $C$. Deje $a$ ser un cero en el interior de $C$. A continuación, el residuo de el integrando es $$\lim_{z\a}(z-a)\frac{zf'(z)}{f(z)} =af'(a)\lim_{z\a}\frac{z}{f(z)} =a.$$ Por lo $I$ $2\pi i$ veces la suma de los ceros de $f$ dentro del contorno.

En tu ejemplo, se puede demostrar que los ceros de su cúbicos están dentro de su círculo? Si es así, entonces la suma de ellos es $3$ (Vieta) etc.