Aquí está mi intento:
Supongamos que hay algún $L \in \mathbb{R}$ tal que $\lim_{ x\to 0 } \sin \frac{2\pi }{x} = L$ . Entonces, si dejamos que $\varepsilon = 1$ existiría $\delta > 0$ tal que $\left| f(x) - L\right| < 1$ para todos $0< |x| < \delta $ . Ahora, por la propiedad de Arquímedes, hay $n \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n} < \delta $ . Escoge $x_1 = \frac{4}{4n+1}$ y $x_2 = \frac{4}{4n+3}$ y observe que $x_1 , x_2 < \delta $ . Ahora para $x_1$ tenemos
$ \left| f(x_1) - L \right| = \left| \sin \left( (4n+1) \frac{\pi}{2} -L \right) \right| = \left| 1-L \right| < 1 $
Y del mismo modo
$ \left| f(x_2) - L \right| = \left| \sin \left( (4n+3) \frac{\pi}{2} -L \right) \right| = \left| -1-L \right| < 1 $
Por lo tanto, L está a una unidad de ambos $-1$ y $1$ . Sin embargo, no puede existir tal número. Una contradicción.
¿Está bien esta prueba?
