Arreglo de 15 bolas incluyendo 3 de 5 diferentes colores en un triángulo

Question

Quince bolas incluyendo 3 cada uno de los 5 colores diferentes están dispuestos en un triángulo como se muestra. De cuántas maneras se puede hacer esto si las rotaciones son permitidos?

Yo estaba pensando que la respuesta debe ser $15!/(3*(3!)^5)$ como podemos organizar de 15 bolas en 15 posiciones en 15! maneras. A continuación, ya que hay 3 bolas de 5 colores diferentes cada uno, nos dividimos por $(3!)^5$ y luego se divide por 3 como la rotación está permitido.

Pero esto no es correcto, como si de 6 bolas son necesarios para organizar como este, donde hay 3 bolas cada uno de 2 colores diferentes, por esta lógica, la respuesta debería ser $6!/3!3!3$ que no es un número entero.

Answer 1

Esto es casi exactamente la respuesta correcta. El error se encuentra en rotacionalmente simétricas arreglos.

La manera en que yo prefiero pensar acerca de esto es decir que una "imagen" es una representación de la disposición de las $15$ bolas de donde sacamos toda $15$ de ellos en un triángulo (algo como la imagen en el diagrama, pero de color diferente). Podemos contar las fotos fácilmente: hay $\frac{15!}{3!^5}$ fotos, porque acabamos de elegir los colores de las bolas. No hay rotaciones de que preocuparse.

Casi todos los arreglos de $15$ bolas tiene exactamente $3$ imágenes para ir con ella. Sin embargo, algunos acuerdos son rotacionalmente simétricas, y en ese caso, no sólo es $1$ imagen.

Hay exactamente $5!$ rotacionalmente simétricas arreglos: hasta permuting los colores de las bolas, que tiene que ser la disposición representada por la imagen de abajo.

Así que hay $5!$ fotos representando $5!$ simétrica arreglos, lo que significa que el restante $\frac{15!}{3!^5} - 5!$ imágenes representan asimétrica de acuerdos: que debemos dividir por $3$, porque no se $3$ fotos de cada arreglo.

Así que la respuesta final es $$ 5! + \frac13\left(\frac{15!}{3!^5} - 5!\right) = \frac{15!}{3\cdot 3!^5} + \frac23 \cdot 5! $$ (su respuesta original es $\frac23 \cdot 5! = 80$).

Answer 2

Utilizamos el teorema de Polya enumeración. Aquí el índice de ciclo es

$$Z(G) = \frac{1}{3} a_1^{15} + \frac{2}{3} a_3^5.$$

Entonces obtenemos para cinco colores, tres de cada uno

$$ [A ^ 3 B ^ 3 C ^ 3 D ^ 3 E ^ 3] Z (G; A + B + C + D + E) \ = [A ^ 3 B ^ 3 C ^ 3 D ^ 3 E ^ 3] \frac{1}{3} (A + B + C + D + E) ^ {15} \ + [A ^ 3 B ^ 3 C ^ 3 D ^ 3 E ^ 3] \frac{2}{3} (A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + D ^ 3 + E ^ 3) ^ 5 \ = \frac{1}{3} \frac{15!} {3! ^ 5} + [a B C D E] \frac{2}{3} (A + B + C + D + E) ^ 5 \ = \frac{1}{3} \frac{15!} {3! ^ 5} + \frac{2}{3} 5! = 56056080. $$