Hay algunas importantes represantation teóricas de las propiedades que se pierden cuando se $F$ no es algebraicamente cerrado.
Lema $1$: Vamos a $A$ ser finito dimensionales $F$-álgebra donde $F$ es algebraicly cerrado y $V$ ser un irreducable $A$-módulo. A continuación,$End_A(V)\cong F$.
Lema $2$: Vamos a $A$ ser finito dimensionales conmutativa $F$álgebra donde la $F$ es algebraicamente cerrado y $V$ ser una irreductible $A$-módulo. A continuación,$dim_{ F}(V)=1$.
Por encima de lema dice que si $G$ es abelian y $V$ $FG$ módulo donde $F$ es algebraicly cerrado, a continuación,$dim_{ F}(V)=1$. Por otro lado, si $F=\mathbb{R}$, entonces sólo podemos decir que la $dim_{ \mathbb R}(V)\leq 2.$
Así, el número de los caracteres lineales de $G$ no necesita ser igual $|G|$ en ese caso.
(Observe que cuando se $G$ es abelian número de las clases conjugacy es $|G|$).
Aviso de que Mackey del teorema de obras para los campos cuya característica es cero. Por tanto, el grupo de álgebra $FG$ es completamente reducible al $F=\mathbb R$ o $F=\mathbb C$. A partir de ahora asume la característica de $F$ es cero.
Ahora vamos a $V$ ser una irreductible $A=FG$ (a la derecha) módulo de e $0\neq v\in V$. Desde $vA$ $A$invariante en el espacio, obtenemos $V=vA$ debido a la simplicidad de $V$. A continuación,$V\cong A/ann(v)$. Desde $A$ es completamente reducable $A$-modue, $A=Ann(v)\oplus U$ donde $U$ $A$- submodue de $A$. Entonces podemos ver que $U$ es isomorfo a $V$, es decir, cada irreductible $A$-módulo es isomorfo a un submódulo de $A$ (esto también muestran que hay un número finito de distintas irreductible $A$-módulo).
Ahora supongamos que $F=\mathbb C$. Hay muchas maneras de demostrar que el número de la irreducable carácter de $G$ (lo que es equivalente, el número de la irreducable $A$-módulo hasta el isomorfismo) es igual al número de clases conjugacy de $G$.
Cada autor sigue una forma distinta. Algunos de ellos define el concepto de "personajes" y "función de la clase", a continuación, muestra que el conjunto de irreducable personajes constiyes un ortanormal base para los espacios de todas las funciones de clase que tiene una dimensión igual al número de clases conjugacy de $G$. (Usted puede leer el capítulo 15 de "Álgebra: Un Curso de Postgrado - I. Martin Isaacs". El teorema que se busca es el Teorema de 15.5) Otro enfoque es puramente por "represantation teoría".
Ahora suponga $F=\mathbb R$ $G$ es abelian para que $FG$ es un álgebra conmutativa. Desde Lema $2$ no es cierto, el número de la irreducable carácter de $A$ podría ser menor que la dimensión de $A$, que es eqaul a $|G|$, como algunos de los irreducable $A$ moduel puede ser de dimensión $2$.