¿Número finito de ceros?

Question

¿Es cierto que cualquier función distinta de cero $f: \mathbb R \to \mathbb R$ que es:

1) constante, o
2) un polinomio, o
3) $\exp$ o
4) $\log$ o
5) cualquier combinación finita de las anteriores utilizando suma, resta, multiplicación, división y composición, (e individualmente consideradas como funciones de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ ),

¿Tiene un número finito de ceros?

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Otro intento. 

En realidad estoy interesado en el comportamiento asintótico de las funciones, por lo que una función f(x), en lo que a mí respecta, es cualquier expresión construida utilizando la sintaxis siguiente, tal que a partir de algún punto c>0, f(x) está definida para todo x>c y toma valores reales en todas partes en este rango. Una función tiene la siguiente sintaxis:

F --> real number
F --> exp
F --> ln
F --> -F
F --> F + F
F --> F(F)

Espero que esto especifique exactamente lo que quiero decir y excluya todo lo que NO. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Todas las funciones consideradas son definibles en $\mathbb{R}_{\exp}$ que es o-minimal . Por tanto, sus conjuntos cero son combinaciones booleanas finitas de intervalos. Como las funciones también son todas analíticas, sus conjuntos cero también son discretos. Por tanto, los únicos conjuntos cero posibles son finitos.

Answer 2

No tengo ni idea de si la siguiente estrategia funcionará realmente. Pero aquí va un intento.

Sea $C$ sea la clase de funciones definidas en el problema. Dadas dos funciones distintas $f, g\in C$ define $E(f,g)$ el conjunto de $x$ para lo cual $f(x)=g(x)$ . Supongamos que es cierto (para cualquier $f, g\in C$ ) que cada punto de $E(f,g)$ es un punto aislado de $E(f,g)$ (equivalentemente, que $E(f,g)$ no tiene puntos límite). Entonces, en particular, con $f_0$ igual a la función cero y $f\ne f_0$ vemos que $E(f,f_0)$ no tiene puntos límite; por lo tanto, la única forma de que $f$ puede tener infinitos ceros es si tiene una secuencia de ceros que tiende a infinito. Sin embargo, $f(1/x)$ también está en $C$ y no puede tener una secuencia de ceros que tienda a $0$ Así que $f(x)$ no puede tener una secuencia de ceros que tienda a infinito. Por lo tanto (?) $f$ sólo tiene un número finito de ceros.

La razón por la que esto podría ser una estrategia viable es que tal vez sea posible demostrar inductivamente (utilizando la definición recursiva de $C$ ) que $E(f,g)$ nunca tiene puntos límite....