¿Existe una serie de Fourier no triviales que converge pointwise por todas partes a la función de cero?

Question

Supongamos que nos dan una arbitraria dos caras secuencia de los números complejos, decir ${an}$. Después de formar la serie de Fourier formal $\sum{n=-\infty} ^{\infty} a_n e^{inx}=a0 + \sum{n=1} ^{\infty} (an e^{inx} + a{-n} e^{-inx} )$, supongamos que la serie converge a cero para todos x en $\mathbb{R}$. ¿Entonces podemos decir que cada ${a_n}$ es realmente cero? Aquí, es la convergencia de pointwise.

¿Si hay un contraejemplo para la pregunta anterior, podemos imponer algunas condiciones en el ciclo prescrito ${a_n}$ (por ejemplo, es en $l^2$) para que la propiedad mencionada contiene?

Answer 1

Este un resultado de unicidad debido a Cantor. Puede encontrar una prueba en este artículo por Ash J. Mariscal.

Answer 2

Buena pregunta. Si $a_n\in \ell^2$, dejando $S_n(x)$ denotar el parcial de Fourier de la suma tenemos que $S_n(x)$ converge en $L^2(\mathbb T)$ a alguna función $f$. Ahora, debido a la $L^2$ convergencia, hay una larga de $S_n$ que converge pointwise casi en todas partes a $f$, y por la asunción, $f=0$. La desigualdad de Bessel ahora le permite a la conclusión de que $a_n=0$ todos los $n$.

Este argumento funciona incluso si la convergencia a cero en todos los puntos es relajado, la convergencia a cero en casi todos los puntos.

No sé qué sucede si $a_n$ no $\ell^2$.

Un ejemplo trivial: Tomar $a_n\equiv 1$ produce una serie de Fourier que converge a$0$$x\in (0, 2\pi)$, y que se bifurca a$+\infty$$x=0, x=2\pi$. Esto muestra que, si sólo es necesaria en casi todas partes de convergencia, a continuación, la declaración puede fallar.