Cómo calcular la integral$\int \frac{a\tan^2{x}+b}{a^2\tan^2{x}+b^2} dx$?

Question

Cómo calcular la integral$\displaystyle\int \dfrac{a\tan^2{x}+b}{a^2\tan^2{x}+b^2} dx$?

Parece un$\arctan$ de lo demás ... pero no puedo resolverlo

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$ \begin{align} \left(a+b\right)\left(a\tan^2{x}+b\right) & =a^2\tan^2{x}+b^2+ab\left(1+\tan^2{x} \right) \\[5pt] & = \color{blue}{a^2\tan^2{x}+b^2}+ab\sec^2x\end {align} $$ Entonces tenemos: $$ \begin{align}\int \frac{a\tan^2{x}+b}{\color{blue}{a^2\tan^2{x}+b^2}} \,\mbox{d}x & = \frac{1}{a+b}\int\frac{\color{blue}{a^2\tan^2{x}+b^2}+ab\sec^2x}{\color{blue}{a^2\tan^2{x}+b^2}} \,\mbox{d}x \\[8pt] & = \frac{1}{a+b}\int\left( 1 + \frac{ab\sec^2x}{a^2\tan^2{x}+b^2} \right) \,\mbox{d}x \tag{%#%#%}\\[8pt] & = \frac{1}{a+b}\Bigl( x+\arctan\left( \tfrac{a}{b}\tan x\right) \Bigr) +C \end {align} $$

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Donde$\star$ es una integral estándar, o sigue después de$(\star)$, aquí con$t=\tfrac{a}{b}y$:$y=\tan x$ $

Answer 2

$$I=\int \dfrac{a\tan^2(x)+b}{a^2\tan^2(x)+b^2}\, dx$$ Use $ x = \ tan ^ {- 1} (t) $ para hacer$$I=\int\frac{a t^2+b}{\left(t^2+1\right) \left(a^2 t^2+b^2\right)}\,dt$ $ Usa la descomposición de fracción parcial$$\frac{a t^2+b}{\left(t^2+1\right) \left(a^2 t^2+b^2\right)}=\frac{a b}{(a+b) \left(a^2 t^2+b^2\right)}+\frac{1}{(a+b)\left(t^2+1\right) }$ $ que se ve bastante agradable.