Por el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de grado $n$ puede ser factorizado en un producto de $n$ polinomios lineales.
Como ejemplo, ya que el polinomio $ x^5 +1$ tiene las cinco raíces complejas $$\tag{1} -1,\quad e^{\frac{\pi i}{5}}, \quad e^{\frac{-\pi i}{5}}, \quad e^{\frac{3\pi i}{5}}, \quad e^{\frac{-3\pi i}{5}},$$ podemos escribir $$\tag{2} x^5+1=(x+1)(x- e^{\frac{\pi i}{5}})(x- e^{\frac{-\pi i}{5}})(x- e^{\frac{3\pi i}{5}})(x- e^{\frac{-3\pi i}{5}}).$$
Multiplicar varios términos en $(2)$ da $$\tag{3} x^5+1=(x+1)(x^2 -2\cos{\frac{\pi}{5}}x + 1)(x^2 -2\cos{ \frac{3\pi}{5}}x+1).$$
Ahora, $(3)$ es, por supuesto, un ejemplo específico del teorema general (que también se basa en la estructura de $\mathbb{C}$ ):
Cualquier polinomio con coeficientes reales puede ser factorizado en un producto de polinomios lineales reales y cuadráticos reales.
Generalizar $(3)$ a cualquier valor de impar $n\in \mathbb{N}$ , da la siguiente fórmula: $$\tag{4} x^n +1 = (x+1) \left(x^2 -2\big(\cos{\frac{\pi}{n}}\big)x + 1\right) \left(x^2 -2\big(\cos{\frac{3\pi}{n}}\big)x + 1\right)\cdots \left(x^2 -2\big(\cos{\frac{(n-2)\pi}{n}}\big)x + 1\right) .$$
Este resultado es interesante para mí, ya que sugiere que incluso en $\mathbb{R}$ la función coseno está, en algún sentido vago, incorporada a la exponenciación.
Pregunta: Me pregunto si la fórmula general $(4)$ o un caso específico, como $(3)$ La teoría de los anillos, que es una de las más importantes del mundo, podría derivarse utilizando únicamente herramientas analíticas reales (y quizás algo de teoría de los anillos): es decir, sin números complejos ni la fórmula de Euler.
