Demostrar que $\max\big\{ (1-x)(1-y) , xy , x(1-y) + y(1-x)\big \} \geq \dfrac49$ para $x,y \in [0,1]$ .

Question

Para $x$ y $y$ en el intervalo $[0,1]$ , demuestran que $$\max\big\{ (1-x)(1-y) , xy , x(1-y) + y(1-x) \big\}\geq \frac49$$ Llevo tiempo pensando en esto pero no he podido llegar a probarlo, cualquier aportación es bienvenida.

Answer 1

Dejemos que $s:=x+y$ y $m:=xy$ . Tenemos $$0\leq s\leq 2\text{ and }0\leq m\leq \frac{s^2}{4}\,.$$ Las tres funciones a comparar son $$a:=(1-x)(1-y)=1-s+m\,,\,\,b:=xy=m\,,\text{ and }c:=x(1-y)+y(1-x)=s-2m\,.$$ Si $0\leq s\leq \dfrac{2}{3}$ entonces $m\leq \dfrac{s^2}{4}\leq \dfrac{1}{9}$ , lo que implica $$a+c=1-m\geq \frac{8}{9}\,,\text{ whence }a\geq \frac{4}{9}\text{ or }c\geq \frac{4}{9}\,.$$ Si $\dfrac{2}{3}\leq s\leq \dfrac{4}{3}$ entonces $|s-1|\leq \dfrac13$ De ahí que $$(s-1)^2\leq \frac{1}{9}\,,\text{ or }s-\frac{s^2}{2}\geq \frac{4}{9}\,.$$ Ergo, $$c=s-2m\geq s-\frac{s^2}{2} \geq \frac{4}{9}\,.$$ Por último, supongamos que $\dfrac{4}{3}\leq s\leq 2$ . Entonces, $$2b+c=s\geq \frac{4}{3}\,,\text{ making }b\geq \frac{4}{9}\text{ or }c\geq \frac{4}{9}\,.$$ Por lo tanto, tenemos $$\frac49\leq \max\big\{(1-x)(1-y),xy,x(1-y)+y(1-x)\big\}\leq 1\text{ for all }x,y\in[0,1]\,,$$ cuyo lado izquierdo es una igualdad es una igualdad si $(x,y)=\left(\dfrac13,\dfrac13\right)$ ou $(x,y)=\left(\dfrac23,\dfrac23\right)$ y cuyo lado derecho es una igualdad si $x\in\{0,1\}$ y $y\in\{0,1\}$ .

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Curiosamente, también tenemos $$0\leq \min\big\{(1-x)(1-y),xy,x(1-y)+y(1-x)\big\}\leq \frac14\text{ for all }x,y\in[0,1]\,,$$ donde el lado izquierdo es una igualdad si $x\in\{0,1\}$ ou $y\in\{0,1\}$ y el lado derecho es una igualdad si $(x,y)=\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ . He aquí una prueba de la desigualdad del lado derecho anterior. Si $0\leq s\leq 1$ , entonces obtenemos $$b=m\leq \frac{s^2}{4}\leq \dfrac14\,.$$ Si $1\leq s\leq 2$ entonces tenemos $$a=1-s+m\leq 1-s+\frac{s^2}{4}=\frac{(2-s)^2}{4}\leq \frac{1}{4}\,.$$

Además, la mediana satisface $$0\leq\text{med}\big((1-x)(1-y),xy,x(1-y)+y(1-x)\big)\leq \frac12\,.$$ La desigualdad del lado izquierdo se convierte en una igualdad si $x\in\{0,1\}$ y $y\in\{0,1\}$ . La desigualdad del lado derecho se convierte en una igualdad si $\{x,y\}=\left\{0,\dfrac12\right\}$ ou $\{x,y\}=\left\{\dfrac12,1\right\}$ .

Answer 2

Idea:

En lugar de $y$ escribir $a$ . Ahora tenemos $3$ funciones lineales $$f(x) = x(1-2a)+a$$ $$g(x) =x(a-1)+1-a$$ $$h(x) = ax$$

Ahora bien, si $a\geq {2\over 3}$ entonces $f$ está totalmente por encima de $g$ pero $f$ y $h$ se cruzan en $x_0={a\over 3a-1}$

En este caso $$f(x_0) = {a^2\over 3a-1}\geq {4\over 9}$$

El mismo procedimiento que hacemos para $a\leq 1/3$ y $1/3\leq a\leq 2/3$ ...