Encontrar el porcentaje máximo de triángulos de ángulo agudos en un plano con puntos de $100$; no $3$ son colineales.

Question

En un plano hay $100$ puntos, ninguna de las cuales tres son colineales. Considerar todos los posibles triángulos tener estos puntos como vértices. Encontrar el máximo porcentaje de estos triángulos que son de ángulo agudo.

Sé que el número total de triángulos que se forman se $100 \choose 3$ , ya que el no $3$ puntos son colineales. Para un triángulo para ser aguda creo que sería suficiente para demostrar que la suma de los 2 más pequeño de los ángulos es de más de $π/2$. Así que tendría para optimizar los puntos de maximizar dichos triángulos. Directamente de encontrar un límite superior en el número de triángulos también podría resultar útil. Soy incapaz de ver si hay una manera sencilla de resolver este problema.

Answer 1

Con $N$ de los puntos, el siguiente da $(2N^3-3N^2-2N)/24$ aguda de triángulos para, incluso, $N$ $(2N^3-3N^2-2N+3)/24$ aguda triángulos extraño $N$. Esto es más del 50 por ciento de todos los $N$.
Empezar con los puntos a y B. Dibujar un círculo a través de Un con centro B, y un círculo a través de B con centro A.
Colocar puntos A1 a A50 en el primer círculo, con Ak un ángulo de $30^o/9^k$ a la derecha de A. Coloque los puntos B1 a B50 en el segundo círculo, Bk, un ángulo de $10^o/9^k$ en el sentido contrario de B.
A1 es el punto base de la $49×50$ aguda triángulos, B1 punto de una base de $49×49$ más; A2 de $48×49$ más, y así sucesivamente. El total de 100 puntos es 82075.

EDIT: Con 4 puntos, hay al menos $1^2$ ángulo obtuso.
Las simulaciones muestran
• el 5º punto, al menos, $1×2$ más obtuso;
• el 6 de punto, al menos, $2^2$ más;
• el 7 de punto, al menos, $2×3$ más;
• el 8 de punto, $3^2$ más, y así sucesivamente.
Si este patrón es correcta, y si sigue así, entonces la fórmula en el inicio de esta respuesta es el número máximo absoluto de la aguda triángulos. 82075 aguda triángulos y $1+2+4+6+9+...+49^2$ obtuso triángulos viene a $100\choose3$ total.