Caracterización de la esfera de Bloch generalizada en coordenadas esféricas

Question

Estoy tan confundido por la siguiente definición en el "Quantum Corrección de Errores" por Lidar y Brun que no está seguro de cómo formular la pregunta correctamente.

Deje $\mathbf n$ denotar un vector unitario, es decir, $\mathbf n\in \mathbb R^{d^2-1}$$\sum_{i=1}^{d^2-1} n_i^2 = 1$, y definir $F_\mathbf n = \sum_{\mu=1}^{d^2-1} n_\mu F_\mu.$ Dejar el mínimo autovalor de cada una de las $F_\mathbf n$ denotarse $m(F_\mathbf n)$. El "espacio de Bloch" $B(\mathbb R^{d^2-1})$ es el conjunto de todos Bloch vectores y es un conjunto convexo cerrado, ya que el conjunto de los estados $\mathscr S(\mathscr H)$ es cerrado y convexo, y el mapa de $\mathbf b\mapsto \rho$ es lineal homeomórficos. El espacio de Bloch se caracteriza en el "coordenadas esféricas" determinado por $\{F_\mathbf n\}$ $$ B(\mathbb R^{d^2-1}) = \left\{ \mathbf b = r\mathbf n \in \mathbb R^{d^2-1} : r\leq \frac{1}{|m(F_\mathbf n)|} \right\}. \etiqueta{1.11} $$ Este resultado es útil para la visualización de estados cuánticos. Por ejemplo, para dos qubits la de Bloch espacio está dado por la Eq. (1.11) por $d=4$, que corresponde a un cierto 15-dimensional conjunto convexo. El Bloch espacio de un qubit se define con la $\{F_\mu\}$ siendo las matrices de Pauli; es una simple esfera, ya que lo que ocurre es que para un qubit el mínimo autovalores $m(F_\mathbf n)$ $1$ todos los $F_\mathbf n$.

Aquí $F_\mu$, es una base de Hermitean operadores normalizarse como $\mathrm{Tr}(F_\mu F_\nu)=d\delta_{\mu\nu}$.

¿Cuál es el razonamiento detrás de la $r\leq\dfrac{1}{|m(F_{\bf{n}})|}$ requisito? ¿Por qué dar a los límites correspondientes a los estados puros?

Por qué para un qubit "un mínimo de $m$$1$"? Se siente como $-1$ (los autovalores de las matrices de Pauli!).

Cualquier explicación sería muy apreciada.

Answer 1

$\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1}}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$Deje $f:\mathbb R^{d^2-1}\to\mathscr B(\mathscr H)$ ser la asignación de puntos en $\mathbb R^{d^2-1}$ a acotado a los operadores en el espacio de Hilbert $\mathscr H$, definido por $$f(\bs b)\equiv \frac{1}{d}\left(I+\sum_{\mu=1}^{d^2-1}b_\mu F_\mu\right).$$ Se puede comprobar fácilmente que, para todos los $\bs b\in\mathbb R^{d^2-1}$, $\,f(\bs b)$ está normalizada y Hermitian. Sin embargo, no es siempre el caso de que $f(\bs b)>0$, lo que significa que $f(\bs b)$ no siempre representa un estado.

La esfera de Bloch se define como el conjunto de todos los vectores $\bs b\in\mathbb R^{d^2-1}$ tal que $f(\bs b)$ es un estado, es decir, $$B(\mathbb R^{d^2-1})\equiv\left\{ \bs b\in\mathbb R^{d^2-1}\text{ such that }f(\bs b)\ge0\right\}.$$ El problema no trivial es el de averiguar por qué $\bs b$ hemos $$d \,\,f(\bs b)=I+\sum_{\mu=1}^{d^2-1}b_\mu F_\mu\ge0.$$ Considere la posibilidad de una $\bs b$ apunta en una dirección arbitraria $\bs n$,$\|\bs n\|=1, \|\bs b\|=r$, por lo que el $\bs b=r\bs n$. La condición se convierte así en $$d\,\,f(\bs b)=I + \bs b \cdot \bs F = I + r \,\bs n\cdot\bs F \ge 0,\tag{A}$$ donde $\bs F=(F_1,...,F_{d^2-1})$. Tenga en cuenta que $\bs F_{\bs n}\equiv \bs n\cdot\bs F$ es de nuevo traceless y Hermitian, lo que significa que $\bs F_{\bs n}$ puede ser unitarily diagonalised, y por lo tanto el mismo debe poseer para $I + r \,\bs F_{\bs n}$.

Tener en cuenta (a) en su eigenbasis. La positividad de un Hermitian operador es equivalente a todos sus autovalores son positivos. Nos deja denotar con $\lambda_i$ los autovalores de a $I + r \,\bs F_{\bs n}$. Vemos entonces que (A) es equivalente a la siguiente conjunto de $d^2-1$ desigualdades: $$1+r \lambda_i \ge 0,\text{ for all }i=1,...,d^2-1.$$ Tenga en cuenta que si una matriz es traceless y Hermitian, entonces debe de haber autovalores negativos, es decir, $\lambda_i<0$ algunos $i$. Si $\lambda_i\ge0$ la desigualdad es trivial satisfecho, así que supongamos $\lambda_i<0$. En este caso queremos $r\le1/(-\lambda_i)$ todos los $i$, que es $$r\le\frac{1}{\lvert\min_i\lambda_i\rvert}.$$

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Respecto a su segunda pregunta, me imagino que los autores simplemente para decir, sino que el valor absoluto del mínimo autovalor es $1$.