¿Por qué dice Spivak que "$dx$ (en$\int f(x) dx$) no tiene ningún significado de forma aislada" en su libro de texto de Cálculo?

Question

Yo estaba bajo la impresión de que el $dx$ $\int f(x) dx$ se llama la diferencial de y representa un cambio infinitesimal en $x$. Sin embargo, en la parte inferior de la p. 264 en Spivak del Cálculo (4ª ed.), el autor escribe

"El símbolo $dx$ no tiene ningún significado en el aislamiento, más de lo que el símbolo $x \rightarrow$ tiene algún significado; excepto en el contexto de $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$."

Él también dice en la página siguiente, que para $\int x^2 dx$,

"Todo el símbolo de $x^2 dx$ puede ser considerado como una abreviatura para: la función de $f$ tal que $f(x) = x^2$ todos los $x$."

Al mirar en el apéndice, no hay menciones de la palabra "diferencial" en el libro. Sin embargo, él hace uso de ellos más adelante en el libro, mientras que describe la integral de sustitución de la fórmula utilizando las ecuaciones \begin{equation} \begin{split} u &= g(x),\\ du &= g'(x)dx \end{split} \end{equation} y \begin{equation} \begin{split} x &= g^{-1}(u)\\ dx &= (g^{-1})'(u)du. \end{split} \end{equation}

Es cualquiera que esté familiarizado con el razonamiento detrás de esta aparente omisión deliberada?

Answer 1

Si mal no recuerdo, si usted investigar el libro a fondo, te darás cuenta de que él sólo ha definido la integral de (adecuado) de las transformaciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Por lo tanto, si no existe una función tal como $g(x, y)$, podría ser escrito como: $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y la actual definición de los materiales no tiene ningún sentido. Por lo tanto, usted no podría simplemente escribir $\int g$.

Además, como se menciona en el libro, $\int$ es una transformación que, con la siguiente firma:

$$\int : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \to \mathbb{F} \to \mathbb{R}$$

donde los dos primeros a $\mathbb{R}$ son los límites de integración, y el $\mathbb{F}$ es la integración de transformación. Finalmente, $\mathbb{R}$ es el valor. Por lo tanto, si usted elimina una gran cantidad de la adición de sacarosa introducido, lo que normalmente se escribe como:

$$\int_a^b f(x) dx$$

Realmente se convierte en:

$$\int(a)(b)(f)$$

Como, en el caso de Spivak, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, es (para mi sorpresa!) superfluo mencionar siquiera la variable de integración, ya que se exige que siempre hay precisamente una variable de integración¹. Además, no hay ninguna mención de $dx$. Por lo tanto, si usted está tratando de convencer a su equipo de un teorema y el uso de $dx = blah$ argumentos, el equipo va a tirar un error al decir que el $dx$ no está definido.

De hecho, $\int_a^b$ es azúcar para $\int(a)(b)$, sin embargo, no puedo pensar en un caso que podría abusar de esta notación.

^{1 Incluso una función constante como $f(x) = c$ todavía tiene la firma de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$}

Answer 2

Así, formalmente usted no puede hablar realmente de "infinitamente pequeño" cantidades (a menos que usted va a hablar de la hyperreal números, pero eso es una historia completamente diferente). Esta idea lleva a la intuición, y antes de que el cálculo se puso en pie firme esto fue lo que la gente pensaba acerca de ello.

Cuando Spivak habla de integración por sustitución, los pasos que mencionas servir simplemente como notación abreviada, y como todo lo que se hace formalmente, no hay ninguna referencia a la infinitesimal de los cambios en la cantidad. Bien, ahora que acaba de escribir la $\int_a^b f$, a pesar de que es conveniente y más tarde se convertirá en realidad importante (especificar cuál es la variable/indicador de integrar en contra, y más tarde diferencial de las formas de dar sentido a la $dx$ negocio).

Answer 3

Spivak del reclamo está probablemente relacionado con el uso particular de un diferencial como $dx$ como parte de la composición que es una integral, las otras partes, siendo la integral de la $\int$, integrando la expresión y, opcional, la especificación del dominio de integración.

La práctica de Leibniz Kalkül, que también se utiliza en el contexto de la integración, la cita hacia el final, se involucran más de un diferencial. E. g. $d(fg)=(df)g+f(dg)$.

Pero en otro contexto que demanda no parece válida para mí. E. g. para una isolínea de una multi de la función de variable $F$ es costumbre que la caracterizan tener $dF=0$ a lo largo de ella.