Operación asociativa, no conmutativa y no trivial sobre los números reales

Question

Esta pregunta del MSE se pregunta por las operaciones binarias sobre los números reales que son asociativas, pero no conmutativas. Se dan dos respuestas:

1. La operación $\circ$ definido por $x \circ y=x$ .
2. Dejar $f:\mathbb R\to M_n(\mathbb R)$ sea una biyección, entonces $x*y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$ , donde $\cdot$ es la multiplicación de matrices.

La operación 1 es buena, pero es lo que yo llamaría una operación binaria trivial, ya que sólo depende de una de sus entradas. La operación 2 está lejos de ser satisfactoria, ya que no respeta en absoluto la estructura de los reales. Así que mi pregunta es,

¿Existe una operación binaria $\star$ en los números reales que es

1. asociativo,
2. no conmutativa,
3. no triviales (operadores de la forma $x\circ y=f(x)$ o $x\circ y=g(y)$ son triviales), y
4. continua (con respecto a las topologías habituales en $\mathbb R^2$ y $\mathbb R$ )?

También estaría satisfecho con un operador en el que la condición 4 se relajara a

 4'. ¿constantes en casi todas partes?

Answer 1

Ok, Batominovski tiene una respuesta en los comentarios. Voy a escribir la comprobación:

Nuestro candidato es $x\circ y=|x|y$ . Entonces:

1. ¿Asociación? Tenemos $(x\circ y)\circ z=(|x|y)\circ z=||x|y|z=|xy|z.$ Por otro lado, $x\circ(y\circ z)=x\circ(|y|z)=|x||y|z=|xy|z.$
2. ¿No es conmutativo? $x\circ y=|x|y\not=|y|x=y\circ x$ .
3. ¿No es trivial? Bueno, no es una función de $x$ o $y$ sólo.
4. ¿Continua o continua en casi todas partes? $f(x)=x$ y $g(x)=|x|$ son ambas continuas en todas partes, por lo que su producto lo es.

Así que esta solución de Batominovski encaja en el proyecto.

Answer 2

Si quieres (1)-(3), y (4'), pero no (4), entonces puedes tomar $$x*y:=\lfloor x\rfloor+y$$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ . Entonces, $*$ es continua en casi todas partes, excepto en el conjunto $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ que es un subconjunto de la medida $0$ de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ . Además, para cualquier $y\in\mathbb{R}$ la función $\_*y$ es continua en $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ mientras que $x*\_$ es continua en el conjunto $\mathbb{R}$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ .

Sería interesante añadir la condición (4'') que exige que la operación binaria sea un mapa siempre diferenciable (o incluso suave) de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Los únicos ejemplos que tenemos hasta ahora no satisfacen (1)-(3) y (4''), aunque satisfacen una condición más débil, que exige que la operación binaria sea un mapa suave en casi todas partes.