Función $f$s.t. $\lim_{x\to\infty}\frac{f(e^x)}{f(x)}=1$

Question

Las preguntas son:

1) ¿existe alguna función $f$ s.t. $\lim_{x\to\infty}\frac{f(e^x)}{f(x)}=1$ y $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$?

2) Es $\big(\sum_{k=n}^{2^n}a_k\big)_n\to0$ es suficiente para garantizar el la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_n$ $(a_n)_{n\in\mathbb > N}\ge0$?

Recientemente he descubierto que $(a_n)_{n\in\mathbb N}\ge 0$ $\big(\sum_{k=n}^{2n}a_k\big)_{n\in\mathbb N}\to 0$ no implica $\sum_{n=1}^\infty a_n\in\mathbb R$, que se hace mediante el establecimiento $(a_n)_{n\ge2}=\frac{1}{n\ln n}$.

Mediante el establecimiento $(a_n)=\frac{1}{n\ln n \ln\ln n}$, no podemos garantizar la convergencia de las $\sum_{n=1}^\infty a_n$ incluso si $\big(\sum_{k=n}^{n^2}a_k\big)_n\to 0$

Pero lo que después de $2n$ $n^2$ $2^n$ (en algún sentido), así que me gustaría preguntar si $\big(\sum_{k=n}^{2^n}a_k\big)_n\to0$ es suficiente para garantizar la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_n$$(a_n)_{n\in\mathbb N}\ge0$. Por supuesto es necesario, pero no creo que es sufficience. Y por lo tanto, planteo la pregunta 1.

Respondiendo a la pregunta 1 de ayudar a la pregunta 2 del curso, pero, ¿es suficiente?

Tal vez deberíamos considerar funciones (para ser una integral indefinida de el integrando la función-a-ser) como la inversa de a $g(x)=x^x$ (superlog?)? Pero tetration que no cumplen muchas de las propiedades que el poder que tienen. Y ¿cuál es la derivada de ella? Es posible hacer que sea sencillo? O bien, tal vez deberíamos probar otras funciones.

Cualquier ayuda se aprecia. Gracias!

Answer 1

1. Sí, existe una función: $\log^*$, que se define como la mínima $n\in \mathbb{N}$ tal que $\log^n (x) <1$ donde $\log^n$ $n$veces $\log$ ( $\log(\log(\cdots))$ . Este es un muy lentamente función creciente, pero a la larga es infinito. Además, es fácil ver que tenemos $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\log^*(e^x)}{\log^*(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log^*(x)+1}{\log^*(x)}=1$.

2. Con la inversa de la función de $\log^*$, sin embargo tenemos la base 2. Definimos $a_k = \frac{1}{n}\Leftrightarrow (k = argmin\{log^*(x)=n\})$ $0$ lo contrario. Se ve fácilmente, que $\sum_{k=1}^\infty a_k= \infty$. Por otro lado $\sum_{k=n}^{2^n}a_k$ contiene al menos uno distinto de cero $a_k$, por lo que tiende a $0$.