Dejemos que $X_1$ y $X_2$ sean variables aleatorias i.i.d. de una distribución $D$ en los números reales con varianza finita (y por tanto media finita). Supongamos que la probabilidad de $X_i = 0$ es $0$ . ¿Debe ser cierto que $$ \mathbb{E}\left[ \frac{X_1 X_2}{X_1^2 + X_2^2} \right] \ge 0? $$ Si no es así, ¿cuál es el mínimo sobre todas las distribuciones de esta expectativa?
Comentarios
La expectativa es siempre finita. Es posible que la expectativa sea $0$ cuando $D$ es simétrica respecto a $0$ . Mi conjetura es que esta expectativa es necesariamente no negativa. Por supuesto sin el denominador, $\mathbb{E}[X_1 X_2] = \mathbb{E}[X_1] \cdot \mathbb{E}[X_2] = \mu^2 \ge 0$ . Pero con el denominador no está tan claro.
Imagino que esto puede ser muy elemental: No soy un experto en la mayoría de las desigualdades utilizadas en la teoría de la probabilidad.
Intenté expandir la fracción con fracciones parciales sobre los números complejos, obteniendo $$ \frac{X_1 X_2}{X_1^2 + X_2^2} = \frac{\tfrac12 X_2}{X_1 + i X_2} + \frac{\tfrac12 X_2}{X_1 - i X_2}, $$ pero tampoco tengo una idea de cómo evaluar estas expectativas.
Esta pregunta es el resultado de mi pregunta anterior . En concreto, podemos escribir $$ \mathbb{E}\left[ \frac{(X_1 + X_2)^2}{X_1^2 + X_2^2}\right] = 1 + 2 \cdot \mathbb{E}\left[ \frac{X_1 X_2}{X_1^2 + X_2^2} \right], $$ y en la respuesta a mi pregunta anterior parecía que la expectativa anterior nunca baja de $1$ . Esto equivale a la presente pregunta sobre la última expectativa.
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¿Qué significa su segunda frase?
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@TedShifrin Probabilidad de $0$ en la distribución $D$ es $0$ . (Necesario para evitar la división por $0$ ). ¿Qué es lo que no está claro actualmente?
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Oh, lo siento, lo leí mal. Gracias.