Valor mínimo de la expectativa $\mathbb{E}[ X_1 X_2 / (X_1^2 + X_2^2) ]$

Question

Dejemos que $X_1$ y $X_2$ sean variables aleatorias i.i.d. de una distribución $D$ en los números reales con varianza finita (y por tanto media finita). Supongamos que la probabilidad de $X_i = 0$ es $0$ . ¿Debe ser cierto que $$ \mathbb{E}\left[ \frac{X_1 X_2}{X_1^2 + X_2^2} \right] \ge 0? $$ Si no es así, ¿cuál es el mínimo sobre todas las distribuciones de esta expectativa?

Comentarios

La expectativa es siempre finita. Es posible que la expectativa sea $0$ cuando $D$ es simétrica respecto a $0$ . Mi conjetura es que esta expectativa es necesariamente no negativa. Por supuesto sin el denominador, $\mathbb{E}[X_1 X_2] = \mathbb{E}[X_1] \cdot \mathbb{E}[X_2] = \mu^2 \ge 0$ . Pero con el denominador no está tan claro.

Imagino que esto puede ser muy elemental: No soy un experto en la mayoría de las desigualdades utilizadas en la teoría de la probabilidad.

Intenté expandir la fracción con fracciones parciales sobre los números complejos, obteniendo $$ \frac{X_1 X_2}{X_1^2 + X_2^2} = \frac{\tfrac12 X_2}{X_1 + i X_2} + \frac{\tfrac12 X_2}{X_1 - i X_2}, $$ pero tampoco tengo una idea de cómo evaluar estas expectativas.

Esta pregunta es el resultado de mi pregunta anterior . En concreto, podemos escribir $$ \mathbb{E}\left[ \frac{(X_1 + X_2)^2}{X_1^2 + X_2^2}\right] = 1 + 2 \cdot \mathbb{E}\left[ \frac{X_1 X_2}{X_1^2 + X_2^2} \right], $$ y en la respuesta a mi pregunta anterior parecía que la expectativa anterior nunca baja de $1$ . Esto equivale a la presente pregunta sobre la última expectativa.

Answer 1

Se puede comprobar que el "núcleo $k(u,v)=uv/(u^2+v^2)$ es semidefinido positivo. Por ejemplo, observando que $$\tag{1}k(u,v)=\int_0^\infty (ue^{-u^2x})(ve^{-v^2x})\,dx.$$ Ver esta wikipedia artículo para conocer los datos básicos de estas funciones.

La desigualdad deseada es una consecuencia directa de esto: su expectativa, $\mathbb Ek(X_1,X_2)$ es una de las expresiones cuadráticas cuya no negatividad está garantizada por la propiedad PSD de $k$ o se aproxima mediante tales expresiones.

Con más detalle: Dado que las medidas de probabilidad finitamente soportadas son densas en el espacio de todas las medidas de probabilidad sobre $\mathbb R$ en la topología débil, existe una secuencia de medidas de probabilidad finitamente soportadas $P_n$ que convergen débilmente a la distribución de probabilidad de $X_1$ . Desde $k$ es continua y acotada, tenemos $$\mathbb E k(X_1,X_2) = \lim_n \iint k(u,v) P_n(du) P_n(dv).$$ Supongamos que $P_n$ asigna la medida $p_i$ a $u_i$ para un número finito de valores de $i$ (suprimo la notación de la dependencia de $n$ aquí), así que $P_n = \sum_i p_i \delta_{u_i}$ . Entonces $\iint k(u,v) P_n(du) P_n(dv)=\sum_{i,j} p_i p_j k(u_i,u_j);$ esta última cantidad es conocida como no negativa por la definición positiva de $k$ . Así que $\mathbb E k(X_1,X_2)$ es el límite de cantidades no negativas, por lo que también es no negativo.

Otra forma de utilizar la representación integral (1) anterior es observar que $$\mathbb E k(X_1,X_2)= \int_0^\infty \mathbb E(X_1\exp(-tX_1^2))\, \mathbb E(X_1\exp(-tX_2^2))\,dx = \int_0^\infty \left(\mathbb E X_1\exp(-t X_1^2)\right)^2\,dt\ge 0.$$ Hay que utilizar algo como el teorema de Tonelli para justificar la ecuación aquí.