Deje $V,W$ ser verdaderos espacios vectoriales de dimensión $d$, y deje $T \in \text{Hom}(V,W)$.
Hay un "natural pieza adicional de información" necesaria con el fin de dar una interpretación significativa de la traza de $T$? (que es "menos que" la elección de un isomorfismo $V \cong W$).
Permítanme explicar un poco qué quiero decir con "información adicional" a través de otros ejemplos:
Supongamos que queremos definir el determinante de a $T$. Entonces suficiente información adicional es una opción de volumen deseado formas en $V,W$. Suponiendo que tenemos formas, podemos entonces definir $\det T$ al requerir $$T^*(\text{Vol}_W)=\det T \cdot \text{Vol}_V.$$
Quizás el más económica opción sería proporcionar un isomorfismo $\bigwedge^d V \simeq \bigwedge^d W$. Desde $\bigwedge^d T:\bigwedge^d V \a \bigwedge^d W $, by composing it with the given isomorphism we can identify $\bigwedge^d T$ with a map $\bigwedge^d V \a \bigwedge^d V$ que luego pueden ser , naturalmente, identificado con un escalar.
(La elección de una forma de volumen es equivalente a elegir un isomorfismo $\bigwedge^d V \cong \mathbb{R}$).
Por supuesto, nos podría dar un isomorfismo $V \simeq W$ y considerar la posibilidad de $T$ como un mapa de $V \to V$, pero mi punto es que esto es mucho más de lo que realmente necesitamos.
En el mismo espíritu, con el fin de definir los valores singulares de un mapa, tenemos que elegir el interior de los productos en ambos espacios. (Que es, de nuevo menos información, a continuación, elegir isomorphisms de $V,W$$\mathbb{R}^d$).
La pregunta es si hay un "análogo" pieza adicional de la estructura de la cual, naturalmente, encaja en la definición de la traza. Por supuesto, cuando se $V=W$ (o cuando nos da algo de isomorfismo entre el$V$$W$) se puede definir la traza de $T$ como un mapa de $V \to V$.
(Una coordenada versión libre sería el uso de los naturales de identificación de $V^* \otimes V \cong \text{Hom}(V,V)$, y la contracción del mapa de $V^* \otimes V \to F$. Alternativamente, podemos elegir una base, y utilice el hecho de que la traza de una matriz es invariante bajo la conjugación).
Soy consciente de que no es del todo claro si el seguimiento puede ser dado puramente "sentido geométrico" (en el sentido de que no es invariante bajo isometrías por ejemplo). Esto es diferente de la situación con el determinante, o los valores singulares.
Editar:
En un ligero contraste con la última contraste, aquí hay algunas pruebas de que la traza es al menos "parcialmente" un geométricas criatura: El espacio de seguimiento libre de matrices es el espacio de la tangente a la identidad a $SL_d$ (el grupo de volumen de la preservación de las matrices). Por lo tanto, supongo que vamos a necesitar, al menos, algo así como un isomorfismo $\bigwedge^d V \simeq \bigwedge^d W$ (con el fin de definir una noción de volumen de la preservación de los mapas). El uso de este isomorfismo, ahora podemos identificar a $\bigwedge^d T$ como un mapa de $\bigwedge^d V \to \bigwedge^d V$, y definir $$ "SL"=\{ T \en \text{Hom}(V,W) \, | \, \bigwedge^d T=\text{Id}_{\bigwedge^d V} \}. $$
El problema es que no estoy seguro de si podemos "único" que elemento es el análogo de la "identidad " mapa" entre todos estos elementos de nuestra $"SL"$. Por lo tanto, no estoy seguro de que una elección de un isomorfismo $\bigwedge^d V \simeq \bigwedge^d W$ sería suficiente para definir lo que es "trace=$0$"...
