¿Sabemos que $AA^{-1} = I$ y $A^{-1}A = I$, pero existe una prueba para aquí la propiedad conmutativa? ¿O esto es sólo la definición de invertibility?
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Bernard
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Commutativity es parte de la definición de la inversa, pero se justifica por el hecho siguiente de monoids: Si un elemento $a$ en un monoid $M$ tiene una inversa derecha $b$ y un % inverso izquierdo $c$: $ab=e$, $ca=e$ (el elemento neutro en $M$), a continuación, $b=c$ - en otras palabras, $a$ tiene una inversa.
Esto resulta muy simplemente de la asociatividad de la ley del monoid: $$b= eb=(ca)b=c(ab)=ce=c.$ $
TrialAndError
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Olvídate de la linealidad por el momento. Si $X$ $Y$ son conjuntos y $f : X \rightarrow Y$ es alguna función es inyectiva, entonces existe una función de $g : f(X)\rightarrow X$ tal que $$ g(f(x))=x,\;\;\; x\in X. $$ Aunque $f$ no puede ser surjective, puede aplicar $f$ a ambos lados de la anterior para obtener: $$ f(g(f(x)))=f(x) \\ (f\circ g)(f(x))=f(x) \\ (f\circ g)(y) = y,\;\;\; y \f(X). $$ Así que es un simple truco para ver que $g : f(X)\rightarrow X$ $f : X\rightarrow f(X)$ son inversos. En consecuencia, si $f$ es inyectiva y surjective, a continuación, $g\circ f = id_{X}$ fuerzas de $f\circ g = id_{Y}$ donde $id_{X}$ $id_{Y}$ son los mapas de identidad en $X$, $Y$, respectivamente.
Para una función lineal $L : X\rightarrow X$ en un finito-dimensional espacio lineal $X$, usted tiene la inusual propiedad que $L$ es surjective iff es inyectiva. Ese es el rango de-nulidad teorema, y es curioso lineal mapas finito-dimensional espacios (es decir, no es cierto en el infinito-dimensional lineal espacios.) Por lo tanto, si $L : X\rightarrow X$ es inyectiva, entonces $f(x) = Lx$ tiene un inverso $g$ que es definido en todas partes en $X$, lo que obliga $(f\circ g)(y)=y$ todos los $y \in Y$. En otras palabras, si $M$ es una matriz tal que $ML=I$ sobre el finito dimensionales del espacio lineal $X$, entonces automáticamente se sostiene que $LM=I$.
sewo
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Si $A$ $B$ plaza de matrices en $\mathbb R^{n\times n}$ tal que $AB=I$, entonces podemos demostrar que $BA=I$.
Una forma de ver esto es considerar el $n$ vectores columna $B\mathbf e_1, B\mathbf e_2, \ldots, B\mathbf e_n$ donde $e_i$s son el estándar de base para $\mathbb R^n$. El $B\mathbf e_i$s debe ser linealmente independiente (porque si tenemos una combinación lineal de ellos, podemos multiplicar que desde la izquierda por $A$ y obtener una combinación lineal de $\mathbf e_i$s), y cualquier conjunto linealmente independiente de $n$ vectores es una base para $\mathbb R^n$.
Ahora considere la posibilidad de un arbitrario vector columna $Y\in\mathbb R^n$. Podemos escribir $Y$ como una combinación lineal de las $B\mathbf e_i$s (debido a que forman una base). Deje $X$ ser la misma combinación lineal de $\mathbf e_i$s; por la linealidad tenemos $BX=Y$. Vamos a calcular ahora $$ (BA)Y=(BA)(BX)=B(AB)X=BIX=BX=Y $$ En otras palabras, a la izquierda de la multiplicación por una $BA$ es la identidad, y la única matriz con esta propiedad es $I$, lo $BA=I$.
